38. Вычисление массы поверхности.

Пусть плотнсоть распределения массы мат. пов-ти есть . Для нахождения массы пов-ти: 1.разбиваем пов-ть S на n частей , площадь кот. обозначим .2.берем произв. точку в каждой обл. . Предполагаем, что в пределах обл. плотность постоянная и равна значению ее в точке . 3. масса области мало отличается от массы фиктивной однородной обл. с пост. плотностью: . 4. суммируя по всей обл., получаем: . 5.за точное зн. массы мат. пов-ти S принимается предел, к кот. стремится полученное приближенное значение при стремлении к 0 диаметров областей , т.е.: , т.е. .

39. Скалярное поле, производная по направлению.

Поле – область V пространства, в кажд. точке кот. определено значение нек. величины. Если каждой точке М этой обл. соответствует определенное число U=U(M), говорят, что в обл. определено скаляроное поле (ф-ция точки). Скал. поле – ф-ция U(M) вместе с ее обл. определения.

Рассмотрим скал. поле, задаваемое ф-цией U=U(x,y,z). Для наглядного представления скал. поля исп-ют пов-ти и линии уровня. Пов-ть уровня скал. поля – геометрич. место точек, в кот. ф-ция U(M) принимает постоянное значение, т.е. U(x,y,z)=c. Давая в ур. величине с разл. зн., получим различные пов-ти уровня ,кот. в совокупности как бы расслаивают поле. Через кажд. точку поля проходит только одна пов-ть ур-ня. ЕЕ ур-ние можно найти путем подстановки координат точки в это ур. U(x,y,z)=c. Для скал. поля, образованного ф-цией: , пов-ми уровня является множество концентрич. сфер с центрами в начале координат: . В частности, при с=1 получим , т.е. сфера стягивается в точку.

В случае плоского поля U=U(x,y) равенство U(x,y)=c представляет собой ур-ние линии уровня поля, т.е. линия уровня – это линия на плоскости Oxy, в точках которой ф-ция U(x,y) сохраняет постоянное значение.

Производная по направлению:

Возьмем в пространстве, где задано поле U=U(x,y,z), некоторую точку М и найдем скорость изменения ф-ции U при движении точки М в произв. напр. . Пусть вектор имеет начало в т.М и направляющие косинусы . Приращение ф-ции U, возникающее при переходе от т.М к нек. точке в напр. вектора определяется так: , или . Тогда . Производной от ф-ции U=U(M) в точке М по направлению наз-ся предел: . Производная по напр. и характет скор. изм-ния ф-ции (поля) в т.М по этому напр. Если , то ф-ция возрастает в напр. , если , то убывает в напр. . Кроме того, величина представляет собой мгновенную скор. изм-ния ф-ции U в напр. в т.М. В этом состоит физ. смысл производной по направлению.

Выведем ф-лу для вычисления производной по напр., считая, что ф-ция U(x,y,z) дифференцируема в т.М. Тогда ее полное приращение в этой т.М можно записать так: , где –б.м.ф. при , получим ф-лу для вычисления производной по направлению: (1). В случае плоского поля U=U(x,y) имеем: .

Замечание: понятие произв. по напр. явл. обобщением понятия частных производных . Их можно рассматривать как произв. от ф-ции u по напр. корд. осей Ox, Oy, Oz. Так, если направление совпадает с положит. напр. оси Ox, то, положив в ф-ле (1): , получим: .