40. Градиент.

Вектор, указывающий направление , в кот. производная имеет наибольшее значение, наз-ся градиентом. Вектор, координатами кот. явл. значения частных производных ф-ции U(x,y,z) в точке M(x,y,z), наз-ют градиентом ф-ции и обозначают grad U, т.е.

. Отметим, что grad U есть вект. величина. Говорят: скал. поле U продолжает вект. поле градиента U. Теперь равенство можно записать в виде: , , - угол между вектором grad U и направлением . Из последней ф-лы следует, что произв. по напр. достигает наиб. значения, когда , т.е. . Т.о., направление град. совпадает с напр. , вдоль которого ф-ция (поле) меняется быстрее всего, т.е. градиент ф-ции указывает направление наибыстрейшего возрастаня ф-ции. Наибольшая скор. изменения ф-ции U в точке М равна:

. В этом сосотоит физ. смысл градиента.

Св-ва градиента ф-ции: 1.град. направлен по нормали к пов-ти кровня, проходящей через данную точку.2.grad(U+V)=gradU+gradV. 3.grad(cU)=cgradU, c=const.4.grad(UV)=UgradV+VgradU. 5.grad . 6. .

Замечание: эти св-ва градиента ф-ции справедливы и для плоского поля.

41. Векторное поле. Дивергенция.

Если каждой точке точке М области простр-ва соответствует нек. вектор , то говорят, что задано векторное поле. Векторная линия – линия, касательная к которой в кажд. ее точке М имеет напр. соответствующего ей вектора . Векторная трубка – совокупность всех вект. линий поля, проходящих через нек. замкнутую кривую. Изучение вект. поля обычно начинают с изучения расположения его вект. линий. Векторные линии поля описываются сист. дифф. ур-ний вида . Действительно, пусть PQ – векторная линия поля, – ее радиус-вектор. Тогда вектор направлен по касательной к линии PQ в точке М. В силу коллинеарности векторов и следует пропорциональность их проекций, т.е.: .

Дивергенция (расходимость) – характеристика вект-го поля, определяющая распределение и интенсивность источников и стоков поля: дивергенцией в точке М наз-ся скаляр вида и обозначается:

Св-ва дивергенции: 1.если - пост. вектор, то .

2. , где с=const.

3. , т.е. дивергенция суммы 2-х векторных ф-ций равна сумме дивергенции слангаемых.

4.если U – скал. ф-ция, - вектор, то .

(1). Дивергенцией векторного поля в точке М наз-ся предел отношения потока поля через (замкнутую) пов-ть S, окружающую точку М, к объему тела, ограниченного этой пов-тью, при условии, что вся пов-ть стягивается в точку М ( ). Это определение эквивав. . Исходя из физ. смысла потока, можно сказать, что точка М представ-т собой источник, откуда жидкость вытекает; при точка М есть сток, поглощающий жидкость. Как следует из (1) хар-ет мощность источника или стока в т.М. Это и есть физ. смысл дивергенции. Ясно, что если в объеме V, ограниченном замкн. пов-тью S, нет ни источников, ни стоков, то Векторное поле, в кажд. т. кот. див. поля =0, , наз-ся соленоидальным (трубчатым).

Пример: найти див. поля лин. скоростей v жидкости, вращ-ся как ТВ. тело вокруг неподв. оси с пост. углов. скор. . Решение: примем ось вр. жидк. за ось Oz. Тогда, как, . Имеем: . Поле - соленоидальное.