- •1). Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •2).Замена переменной и интегрирование по частям под знаком неопределённого интеграла.
- •6). Интегралы вида: , .
- •7). Интегралы вида: .
- •10). Понятие определённого интеграла, основные свойства определённого интеграла, его вычисление.
- •11.Вычисление площадей плоских фигур, объёмов тел и длин дуг с помощью определённого интеграла.
- •11’.Интегрирование по частям и замена переменной под знаком определённого интеграла.
- •12. Несобственные интегралы 1-го рода.
- •13. Несобственные интегралы 2-го рода.
- •14. Понятие функции нескольких переменных. Предел в точке, непрерывность.
- •15. Частные производные функции двух аргументов, их геометрический смысл.
- •16. Полный дифференциал функции двух и трёх переменных.
- •17. Производные сложной функции нескольких аргументов.
- •19. Дифференцирование неявных функций.
- •20. Частные производные высших порядков.
- •21. Локальный экстремум функции двух аргументов.
- •22. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа.
- •23. Наименьшее и наибольшее значения функции двух аргументов в замкнутой области.
- •24. Двойной интеграл в декартовых координатах. Определение, основные свойства.
- •25. Вычисление двойного интеграла в дск.
- •26. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
- •27. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойного интеграла.
- •28. Тройной интеграл. Определение, основные свойства. Его вычисление в декартовых координатах.
- •29. Цилиндрические координаты. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
- •30. Сферические координаты. Тройной интеграл в сферических координатах.
- •31. Криволинейный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление.
- •32. Криволинейный интеграл 2-го рода, его определение, свойства и вычисление.
- •33. Криволинейный интеграл 2-го рода как работа переменной силы на криволинейном пути.
- •34. Вычисление площади плоской фигуры с помощью кри-2.
- •35. Формула Грина.
- •36. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования. Нахождение функции по её полному дифференциалу.
- •37. Поверхностный интеграл 1-го рода, его свойства и вычисление. Поверхностный интеграл 2-го рода.
- •38. Вычисление массы поверхности.
- •39. Скалярное поле, производная по направлению.
- •40. Градиент.
- •41. Векторное поле. Дивергенция.
- •42. Поток векторного поля.
- •43. Формула Остроградского.
- •44. Формула Стокса.
- •45. Оператор Гамильтона.
- •46. Оператор Лапласа.
- •47. Потенциальное векторное поле и его свойства.
- •48. Соленоидальное векторное поле.
- •49. Гармоническое векторное поле.
32. Криволинейный интеграл 2-го рода, его определение, свойства и вычисление.
Пусть в плоскости Oxy задана непрерывная кривая АВ и ф-ция P(x,y), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую АВ точками в направлении от точки А к точке В на n дуг с длинами . На каждой «эл-ной дуге» возьмем точку ( ) и составим сумму вида , где - проекция дуги на ось Ox. Эта сумма – интегральная сумма для ф-ции по переменной x. Если при интегральная сумма имеет конечный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от выбора точек , то его наз-ют КРИ-2 и обозначают .
. Аналогично вводится КРИ от ф-ции Q(x,y) по координате y: , - проекция дуги на ось Oy.
КРИ-2 общего вида: . КРИ по пространственной кривой L: .
Теорема: если АВ гладкая, а ф-ции и непрерывные на кривой АВ, то КРИ-2 сущ-ет.
Св-ва КРИ-2:1. зависит от пути интегрирования.
2.если кривая АВ разбита точкой С на 2 части АС и СВ, то инт-л по всей кривой равен сумме инт-ов по ее частям, т.е. .
3.если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Oy: (все ). Аналогично для кривой, леж. в плоск. Oy.
4.КРИ по замкнутой кривой не зависит от выбора начальной точки, а от направления обхода: . С другой стороны: . Т.о. .
Параметрическое представление:
.Аналогично:
.
.
. Аналогично для пространственной кривой.
Явное представление: .
Криволинейные инт-лы 1 и 2-го рода связаны:
, – углы, образованные касательной к кривой АВ в точке M(x,y) с осями Ox и Oy соответственно.
33. Криволинейный интеграл 2-го рода как работа переменной силы на криволинейном пути.
–P,Q,R проекции силы на корд. оси. Поставим задачу вычислить работу переменной силы на криволин. уч-ке пути. .
.
(1).
В случае замкн. контура инт-л (1) наз-ся циркуляцией вектора по этому контуру. Если в задаче не говорится о направлении обхода контура, то ВСЕГДА понимается положительное направление (против часовой стрелки).
34. Вычисление площади плоской фигуры с помощью кри-2.
Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Oxy и ограниченной замкнутой линией L, можно найти по ф-ле:
, при этом кривая L обходится против часовой стрелки. Положив в формуле Остроградского-Грина P(x,y)=0, Q(x,y)=x, получим: . Аналогично, полагая P=-y, Q=0, найдем еще одну ф-лу вычисления площ. фигуры с пом. КРИ: . Сложим почленно последние 2 равенства и разделив на 2 получим: .
35. Формула Грина.
Связь между 2-м инт-ом по обл. D и КРИ по границе L этой обл. уст-т ф-ла Остроградского-Грина. Пусть на плоскости Oxy задана область D, ограниченная кривой, пересекающейся с прямыми, || корд. осям не более чем в 2-х точках, т.е. область D – правильная.
Теорема: если P(x,y) и Q(x,y) непрерывны вместе со своими частными производными и в обл. D, то имеет место ф-ла: , L – граница обл. D и интегр-ние кривой L производится в положит. напр. Эта ф-ла наз-ся Остроградского-Грина.
Замечание: ф-ла Грина справедлива и для произв. области, кот. можно разбить на конечное число правильных областей.
Теорема: пусть - ур. дуги AnB, а – ур. дуги AmB. Найдем сначала . По правилу вычисления 2-го инт-ла, имеем: . Аналогично док-ся, что . Отсюда можно вывести ф-лу Грина.