Лабораторная работа №10 изучение основного уравнения динамики вращательного движения на маятнике обербека

Цель работы: изучение динамики вращательного движения, измерение момента инерции маятника Обербека.

Введение

Вращательным движением называется такое движение, при котором все точки твердого тела описывают окружности, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Вращательное движение тела описывают с помощью углового перемещения  – вектора, численно равного углу поворота тела. Если декартова прямоугольная система координат (XYZ) построена для рассмотрения вращательного движения, то положительным значениям угла Если построена только ось вращения Z, то положительными считаются углы, если смотреть по направлении оси вращения, откладываемые по направлению движения часовой стрелки.

Быстрота изменения вектора углового перемещения характеризуется угловой скоростью:

.

(44)

В свою очередь, быстрота изменения вектора угловой скорости характеризуется угловым ускорением:

(45)

Получим соотношения между линейными скоростями и ускорениями и угловыми. Линейная скорость связана с угловой соотношением:

.

(46)

Для вывода формулы линейного ускорения продифференцируем формулу (46):

.

(47)

Получили, что полное ускорение определяется суммой двух векторов и . Рассмотрим, куда направлены эти вектора. Вектор направлен туда же куда и линейная скорость, по касательной к окружности, его называют тангенциальным ускорением и обозначают . Второй вектор направлен к центру окружности, его называют нормальным, радиальным или центростремительным ускорением, и обозначают . По модулю нормальное, тангенциальное ускорения и линейная скорость равны произведению соответствующих скаляров векторов, входящих в векторные произведения:

.

(48)

Мерой инертности тела при вращательном движении служит момент инерции J. Момент инерции – это скалярная величина, равная сумме произведений масс m_i всех материальных точек тела на квадраты их расстояний r_i до оси вращения:

(49)

Для вычисления момента инерции интеграл берется по всему объему тела.

Для описания вращательного движения твердого тела вводят понятие момента силы ( ) и момента импульса ( ) относительно неподвижной точки или оси вращения.

Момент импульса – это векторная величина, равная векторному произведению радиус–вектора , проведенного из начала координат в точку приложения импульса :

.

(50)

Момент силы – это векторная величина, равная векторному произведению радиус–вектора , проведенного из начала координат в точку приложения силы F:

.

(51)

Вывод формул динамики вращательного движения подробно приведен в введении к лабораторной работе №8.

В скалярном виде момент силы равен:

(52)

где – плечо силы; α – угол между векторами силы и радиусом-вектором.

Таким образом основные уравнения динамики вращательного движения записываются следующим образом:

(53)

где  – проекция момента импульса на ось вращения Z;  – проекция момента силы на ось вращения Z; и – угловые скорости и ускорения тела.