Глава 1. Механика Лабораторная работа №1 статистическая обработка результатов измерений

Цель работы: ознакомление с методикой статистической обработки результатов эксперимента. Измерение объема и плотности твердого тела (металлического цилиндра или параллелепипеда).

Введение

Под измерением физической величины понимают сравнение ее с однородной величиной, принятой за единицу меры (эталона). Например, измерить длину стержня – это значит выяснить, сколько раз укладывается в нем длина предмета, принятого за единицу меры.

Ни какую физическую величину нельзя измерить абсолютно точно. Точность измерения ограничена точностью прибора, с помощью которого эти измерения проводятся. Точностью прибора называют ту наименьшую часть единицы меры, до которой позволяет произвести измерение данный прибор. Ошибку, возникающую при измерении, можно уменьшить, увеличивая точность измерительных приборов. Однако у любого измерительного прибора есть предел точности. Кроме того, в каждом конкретном случае имеется своя разумная граница точности измерения. Например, точность измерения размера макроскопического тела ограничена до межатомных расстояний (порядка 10^–10 м).

Погрешности (ошибки) измерений делятся на три класса:

1) промахи или грубые ошибки;

2) систематические ошибки;

3) случайные ошибки.

Ошибки первого класса – промахи – легко устранить повторением эксперимента.

Систематические ошибки входят во все измерения, сколько бы их не повторяли. Обнаружить систематические ошибки труднее чем промахи, однако принципиально возможно. Например, к систематическим ошибкам относятся погрешности прибора.

К систематическим ошибкам относятся ошибки методики проведения эксперимента. Например, при точном определении массы тела на аналитических весах необходимо учитывать поправки на действие силы Архимеда и запыленность атмосферы. Если объемы гирь и исследуемого тела разные, то на них будут действовать различные выталкивающие силы Архимеда в воздухе. Оседание пыли и адсорбция ее поверхностью образца также будет давать разные результаты измерений и вкладываться в виде систематической ошибки.

Принципиально систематические ошибки можно исключить из результатов измерения, хотя и не существует общего, пригодного для всех случаев метода борьбы с этими ошибками.

Случайные ошибки – это такие погрешности, учесть влияние причин которых невозможно, даже если сами причины, их вызывающие нам известны. Иногда, случайные ошибки удается частично устранить, но полностью избежать их невозможно. Теория погрешностей дает метод, позволяющий оценить эти ошибки наблюдений.

Случайные ошибки измерений подчиняются законам больших чисел, открытых Гауссом:

1) если произведено большое число измерений одной и той же величины, то чем больше ошибка, тем она реже встречается;

2) две ошибки, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку равновероятны, т.е. при большом числе измерений одной и той же физической величины эти ошибки встречаются приблизительно одинаковое количество раз.

Основываясь на законах Гаусса, можно утверждать, что при достаточно большом числе наблюдений среднее арифметическое из всех результатов измерений ближе к истинному значению, по сравнению с отдельными результатами измерений. Докажем это.

Пусть из ряда одинаковых опытов получены значения результатов измеряемой величины:

,

каждое из результатов измерений включает в себя какую-то ошибку

.

Если через х обозначить истинное значение измеряемой величины, то можно записать:

.

Если сложить все эти равенства и разделить на число измерений N, то получим:

.

Для большого количества наблюдений N>100 (измерений одной и той же величины) из вышеизложенного можно привести методику обработки результатов эксперимента.

1. Проводим эксперимент, измеряя многократно величину x_i. Результаты эксперимента заносим в таблицу в первый вертикальный столбец. Таблицу удобнее сразу заполнять в компьютер, например в электронные таблицы Exel или в статистические программы.

2. Вычисляем среднее значение .

3. Для оценки величины случайной ошибки во второй столбец напротив каждого измерения заносим модуль разницы между измеренной величиной и средним значением: .

4. Вычисляем среднюю арифметическую ошибку: .

5. Внимательно проверяем во втором столбце отклонений результата измерения от среднего значения выполнение не превышение результата от средней арифметической ошибки: . При нарушении данного неравенства результаты этого измерения ставим под сомнение считая грубой ошибкой и исключаем его из таблицы. После исключения всех промахов, повторяем п. 2–4.

Величину Δx называют абсолютной ошибкой измерения и считают главной характеристикой точности измерения. После проведения данных оценок можно заключить, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале значений . Данный интервал в математической статистике называют доверительным интервалом для точного значения величины x. Распространенный способ записи доверительного интервала в виде:

.

(1)

Иным образом строят доверительный интервал при ограниченном числе наблюдений. При условии, что в случайную ошибку эксперимента вносят клад множество факторов, то методика расчета следующая.

1. Определяются с количеством N экспериментальных наблюдений. Минимальное количество опытов при одних и тех же условиях должно быть не менее трех. Считается, что два из трех опытов будут достоверны. Обычно проводят не менее пяти опытов.

2. Проводим эксперимент, измеряя величину x_i. Результаты эксперимента заносим в таблицу в первый вертикальный столбец. Таблицу удобнее сразу заполнять в компьютер.