3.5 Подвижные сосредоточенные источники теплоты

Подвижный точечный источник на поверхности полубесконечного тела

Для вывода уравнения процесса распространения тепла при движущемся и непрерывно действующем источнике тепла применяют принцип наложения. Для этого весь период действия источника разбивают на бесконечно малые элементы и рассматривают отдельные элементарные воздействия источника на теплопроводящее тело. Эти элементарные тепловые воздействия приложены к поверхности тела в последовательные моменты времени в точках, расположенных на оси перемещения источника. Процессы распространения тепла от элементарных воздействий источника можно рассматривать независимо друг от друга. Просуммировав элементарные процессы, получим уравнение процесса распространения тепла при непрерывно действующем подвижном источнике.

По поверхности полубесконечного тела с постоянной скоростью v и прямолинейно по оси 0₀x₀ движется непрерывно действующий точечный источник тепла постоянной мощности q (рис. 3.15). Начало связанной с телом неподвижной системы координат 0 совместим с положением точечного источника в момент τ=0 начала его действия. В момент τ, считая от начала его действия, источник будет находиться в точке 0 на расстоянии ντ от начала координат 0₀. Совместим с точкой 0 – мгновенным положением точечного источника, начало подвижной системы координат x, y ,z.

Рис. 3.15. Подвижный точечный источник тепла на поверхности полубесконечного тела

Пусть в момент τ' после нагрева источник находится в точке 0 с координатами (ντ',0,0). За бесконечно малый промежуток времени dτ' находящийся в точке 0 источник выделит количество тепла dq=q∙dτ'. Это тепло, распространяясь с течением времени τ-τ', вызовет к моменту τ в точке A(x₀, y₀, z₀) изменение температуры dt(τ'). Суммируя малые изменения температуры в точке А, вызванные совокупностью мгновенных источников, введенных за все время τ перемещения источника на пути 0 - 0 , получим изменение температуры t(τ') в точке А

. (3.16)

Изменение температуры dt(τ') можно определить, используя уравнение (3.13):

. (3.17)

Здесь длительность распространения тепла мгновенного источника, введенного в точке 0, составляет τ-τ'.

Просуммировав по уравнению (3.16) элементарные повышения температуры от всех мгновенных источников за время действия их от 0 до τ, получим уравнение распространения тепла точечного подвижного непрерывно действующего источника постоянной мощности, перемещающегося с постоянной скоростью, отнесенное к неподвижной системе координат:

. (3.18)

Решение упрощается, если уравнение (3.18) выразить в подвижной системе координат x, y, z, связанной с источником. В подвижной системе координаты неподвижной точки A(x₀, y₀, z₀) выразятся как x= x₀ - ντ; ; . Длительность процесса распространения тепла, введенного в точке 0, обозначим τ''= τ-τ'. Подстановка в уравнение (3.18) вышеназванных значений и некоторые преобразования подынтегральной функции приводят к уравнению процесса распространения тепла подвижного точечного источника, отнесенному к подвижной системе координат:

(3.19)

где R² =x² + y² +z² – квадрат расстояния от источника тепла до точки А. Дальнейшее преобразование сводится к вычислению интеграла (3.19) при различных значениях входящих в него параметров.

Подвижный линейный источник в пластине

Линейный источник постоянной мощности q распределён равномерно по отрезку Оz, равному толщине пластины δ, и перемещается с постоянной скоростью υ по оси Оx (рис.3.16,а). Пластину считаем неограниченной, а её граничные плоскости z₀=0 и z=δ – отдающими тепло в окружающую среду с нулевой температурой при коэффициенте теплоотдачи α.

Для получения уравнения нагрева пластины подвижным линейным источником применим дробление промежутка времени действия источника на малые элементы и просуммируем процессы распространения линейных элементов тепла q∙dτ' = Q₁∙δ, вносимых в момент τ подвижным линейным источником, находящимся в точке 0 (ντ',0,0).

а) б)

Рис. 3.16. Подвижные источники на поверхности тел: а – линейный источник в бесконечной пластине; б – плоский источник в бесконечном стержне

Уравнение процесса распространения тепла в пластине определяется по принципу наложения так же, как и уравнение (3.18) для полубесконечного тела. Отнесенное к связанной с пластиной плоской неподвижной системе координат x₀y₀ с началом в точке 0₀ уравнение процесса распространения тепла с учетом теплоотдачи имеет вид

. (3.20)

Уравнение процесса распространения в пластине с отдачей тепла подвижного линейного источника постоянной мощности, перемещающегося равномерно и прямолинейно и отнесенного к подвижной системе координат, имеет вид

(3.21)

где τ''= τ-τ', r²=x²+y² – квадрат расстояния от источника тепла до точки А.

Подвижный плоский источник в стержне

Плоский источник теплоты постоянной мощности q распределён равномерно по площади F, равной поперечному сечению стержня и перемещается с постоянной скоростью υ в направлении оси 0x вдоль стержня (рис.3.16,б). Стержень по длине неограничен, его боковая поверхность отдаёт тепло в окружающую среду с нулевой температурой при коэффициенте теплоотдачи α.

Уравнение процесса распространения тепла с учетом теплоотдачи, отнесенное к неподвижной системе координат с началом в сечении 0₀, получим аналогично уравнениям (3.18) и (3.20), по принципу наложения суммированием элементарных процессов (3.6) распространения плоских элементов теплоты q'∙dτ' = Q₂F.

. (3.22)

Отнесенное к подвижной системе координат с началом в мгновенном положении источника 0 уравнение (3.22) примет вид

. (3.23)