4.2. Источник тепла на поверхности плоского слоя

Быстродвижущийся точечный источник теплоты на поверхности плоского слоя

В предыдущем случае предполагалось, что точечный источник теплоты может перемещаться по поверхности пластины с произвольной, в том числе и с малой, скоростью. При больших скоростях перемещения точечного источника теплоты можно не принимать во внимание процесс распространения теплоты вдоль оси движения источника, а рассмотреть только распространение теплоты вдоль осей Оу и Oz. Таким образом, процесс распространения теплоты в рассматриваемом случае представляется как распространение теплоты от мгновенного источника, выделившего теплоту в точке О в момент времени τ = 0 (см. рис. 4.2, в):

, (4.4, a)

где функция F(z, τ) выражает процесс распространения теплоты вдоль оси Oz с учетом отражения его от плоскости 1 и может быть представлена двояко:

либо как сумма полей температур множества мгновенных источников теплоты (см. рис. 4.4, в)

(4.4,б)

(n=0; 1; -1; 2; -2; ...; +; -),

либо с использованием ряда Фурье

(4.4, в)

Для облегчения расчётов на рис 4.2,г представлена номограмма для определения численных значений F(z, τ) в зависимости от z и безразмерного времени . При , F(z, τ) ≈1.

В формуле (4.4, а) , в формулах (4.4, а), (4.4, б) и (4.4, в) τ – время, прошедшее с момента пересечения источником теплоты плоскости, где находится рассматриваемая точка.

Используя рассмотренные принципы учета ограниченности размеров тела, можно определить температуру и в телах других форм.

4.3. Нагрев тел вращения

Распространение тепла в тонкостенном цилиндре

Нагрев при однопроходной дуговой сварке продольных и кольцевых швов тонкостенных цилиндрических оболочек может быть приравнен к случаю нагрева пластины линейным источником теплоты. Это объясняется тем, что цилиндр представляет собой развертывающуюся поверхность.

При больших размерах цилиндра процесс распространения теплоты аналогичен процессу в бесконечной пластине. Однако при малых диаметрах происходит наложение тепловых потоков от различных участков выполняемого шва.

Рассмотрим нагрев тонкостенного цилиндра источником, который начинает движение из точки 0 (рис. 4.5, а) под углом α к образующей цилиндра достаточно большой длины. Процесс распространения теплоты в цилиндре диаметром d в этом случае аналогичен случаю одновременного движения бесконечно большого числа источников теплоты из точек 0₁, 0₂,..., 0_n, сдвинутых относительно друг друга на шаг πd (рис. 4.5, б). Температурное поле достаточно рассматривать в пределах одного интервала π'd, так как оно будет повторяться во всех других интервалах.

Если угол α равен 90⁰, то это соответствует случаю сварки кольцевого шва. Иногда при сварке кольцевых швов тонких обечаек делают второй, третий и последующие проходы без остановки. В этом случае источники теплоты, вышедшие из точек (0₂...0₄ и т.д.), перекрывают точку 0, откуда начал движение основной источник, который будет играть роль источника теплоты первого прохода.

Для упрощения расчётов источник теплоты считают быстродвижущимся. При сварке кольцевого шва схема предусматривает распространение теплоты, выделившейся на участке dS (рис. 4.5, в), только в плоскости I - I. При многократном пересечении источником теплоты плоскости I - I приращения температурных полей от отдельных источников суммируются, например температура в точке А по аналогии с формулой (3.42) будет вычислена как

, (4.5)

где n – число пересечений источником теплоты плоскости I - I, в которой находится точка A, τ_n – время, прошедшее с момента пересечения источником плоскости I - I при первом, втором и т. д. проходах.

При винтовой наплавке на тонкостенный цилиндр (рис. 4.5, г) можно пользоваться схемой быстродвижущегося линейного источника теплоты в пластине с суммированием температурных полей от отдельных источников

, (4.6)

где n – число пересечений источником теплоты плоскости I - I, в которой находится точка А (рис. 4.5, г); х_n – расстояние до точки А в плоскости I - I при различных проходах, т. е. x₁, x₂, ..., x_n; τ_n – время, прошедшее с момента пересечения источником теплоты плоскости I - I при первом, втором и т. д. проходах.

Рис. 4.5. Схемы тел и движения линейных источников теплоты при нагреве тонкостенного цилиндра: а – тонкостенный цилиндр; б – эквивалентная схема для тонкостенного цилиндра; в – быстродвижущийся источник в цилиндре; г – движение источника по винтовой линии; д – эквивалентная схема для тонкостенного конуса

Если α=0, то это соответствует сварке продольного шва. Наличие множества параллельно движущихся источников в расчетной модели для этого случая предназначено для учета отражения теплоты от сечения, диаметрально противоположного образующей, где выполняется продольный шов.

Случай 0 < а < 90⁰ соответствует сварке спирального шва или наплавке по винтовой линии.

Тонкостенный конус

При расчётах температурных полей в случае выполнения продольного шва на конусе небольшого диаметра необходимо принимать во внимание, что конус развёртывается в клиновидную пластину. Тогда температурное поле при выполнении продольного шва будет таким же, как при одновременном движении ряда источников из точек O, O₁, O₂ и т. д. в радиальном направлении (рис. 4.5, д) по прямым линиям OA, O₁A₁, O₂A₂. Сварка кольцевого шва на конусе соответствует движению ряда источников по дугам окружности OB, O₁B₁, O₂B₂ и т. д.

Распространение теплоты в сплошном круглом цилиндре

Температурное поле при движении точечного источника теплоты по поверхности сплошного цилиндра описывается сложными зависимостями. Формулы оказываются проще, если исходить из предположения, что источник теплоты быстродвижущийся. Тогда при наплавке по образующей цилиндра процесс распространения теплоты представляется, как выравнивание температур от мгновенного источника Q, расположенного в точке  = 0 в тонком диске радиусом r₀, торцы которого теплоизолированы, а теплота отдается лишь с цилиндрической поверхности (рис. 4.6,в).

Рис. 4.6. Различные схемы движения и расположения источников теплоты при нагреве сплошного круглого цилиндра

Результаты подсчетов для этого случая для точек по линии наплавки (r=r₀,  = 0) представлены на рисункке 4.6, а, где

– безразмерная температура;

– относительная мгновенная скорость охлаждения по линии наплавки в момент, когда температура точки равна t;

– безразмерное время пребывания точки по линии наплавки выше некоторой температуры ; k_n – время пребывания точки по линии наплавки в с выше некоторой температуры t; t_о – начальная температура тела.

На рисунке 4.6, б представлены максимальные относительные температуры

,

в зависимости от координаты при = 0,

где t_т – максимальная температура в рассматриваемой точке, достигаемая при распространении теплоты в цилиндре.

Кривые на рисунке 4.6, а, б относятся к различным значениям безразмерного критерия характеризующего теплоотдачу с поверхности.

Наплавку на сплошной цилиндр по винтовой линии малого шага с некоторыми допущениями можно рассматривать как нагрев сплошного цилиндра быстродвижущимся точечным источником теплоты, перемещающимся по поверхности цилиндра. Допущение о том, что источник быстродвижущийся по существу означает, что теплота, выделившись на линии ds (рис. 4.5, г), распространяется только в клине, ограниченном двумя не пропускающими теплоту плоскостями, проходящими через ось цилиндра, и цилиндрической поверхностью ABCD, с которой происходит теплоотдача. Так как обычно угол винтовой линии мал, распространение теп-лоты в этом случае может быть приравнено к случаю распространения теплоты от мгновенного кольцевого источника с погонной энергией q/υ на поверхности сплошного цилиндра (рис. 4.5, д).

Температура точки М(х, г) (см. рис. 4.5, д), если ее определять от одного пересечения источником теплоты плоскости AOO₁D (рис. 4.5, г), в которой находится точка М(х, г), будет зависеть от времени τ, прошедшего после пересечения плоскости, и не будет зависеть от координаты  точки М.

Температуру в сплошном цилиндре при распространении теплоты от мгновенного кольцевого источника теплоты с учетом теплоотдачи можно определить по формуле

, (4.7)

,

где τ – время, прошедшее с момента выделения теплоты, с;

R – наружный радиус цилиндра, см.

Функция Ф(r, τ), входящая в формулу (4.7), выражает процесс выравнивания теплоты в тонком круглом диске без теплоотдачи, если теплота выделилась мгновенно по кольцу на наружной поверхности диска:

, (4.7, а)

где – корни уравнения (₁=0; ₂=3.83; ₃=7.02 и т.д.)

J₀ и J₁ – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков от действительного аргумента.

На рисунке 4.6,в представлена номограмма для определения численных значений Ф(r, τ) в зависимости от и . При k>0,4 значение Ф (r, τ)1.

При движении источника теплоты на поверхности сплошного цилиндра по винтовой линии малого шага (рис. 4.5, б) температура точек А и В выразится как сумма температур от мгновенных кольцевых источников, расположенных на различных расстояниях х от точек А и В и имеющих различное время τ, прошедшее с момента их выделения, т. е. с момента пересечения плоскости I—I движущимся источником теплоты

, (4.8)

где х_n – расстояния до точки А или В в плоскости I-I при различных проходах, т. е. при х₁, х₂, х₃ и т. д.; τ_n – время, прошедшее с момента пересечения источником теплоты плоскости I-I при соответствующих проходах (нумерация проходов ведется от последнего прохода); N – число проходов с начала наплавки.

Когда число проходов N велико, т. е. рассматривается установившийся процесс, определить температуру t по формуле (4.8) затруднительно. В этом случае рекомендуется использовать следующий прием. Суммирование температур по формуле (4.8) следует вести до такого значения n = N₀, пока величина Ф_п(r, τ_n) заметно отличается от единицы (например, на 3-5 %). При этом будет получена величина t_No. Вычисление остальной части суммы уравнения (4.8) при n>N₀, когда Ф_п(r, τ_n)1 следует произвести, используя интеграл (4.9):

,

где τ _N0 – время, прошедшее с момента пересечения плоскости I-I, при проходе n= N₀;

τ _h – время, затрачиваемое на один проход с шагом h (рис. 4.5, г);

x₀ – координата точки А или В (рис. 4.5, б) по отношению к точке О, где находится движущийся источник теплоты; v_x – составляющая скорости движения источника теплоты вдоль оси цилиндра х-х.

Рис. 4.7. Безразмерные характеристики температурного режима в зоне наплавки длинного сплошного круглого цилиндра: а – безразмерное время τ_Н пребывания точек выше относительной температуры θ при наплавке вдоль образующей и относительная мгновенная скорость охлаждения по линии наплавки ; б – максимальные относительные температуры θ_max при наплавке вдоль образующей в зависимости от относительной координаты при φ = 0: ; в – номограмма для определения функции Φ(r, t)

Интеграл (4.9) описывает процесс выравнивания температур от плоского источника теплоты, т. е.

,

где ψ₁ определяется по номограмме (рис. 3.38, в), а t_пр – по формуле (3.31).

При использовании формул (3.31) и (3.38) для данного конкретного случая в них следует полагать

; .

Окончательно получим:

t = t_N0 + t_N-_N0 = t_N0 + t_пр (1 – ψ₁). (4.11)

Пример 10. На сплошной стальной цилиндр диаметром 6,5 см производится наплавка слоя толщиной около 0,25 см газодуговым способом при следующих условиях: I=130 A; U = 20 B; скорость вращения цилиндра 3 об/мин; шаг наплавки h=0.4 см, КПД источника теплоты  = 0,7. Определить температуру точки В цилиндра (рис. 4.5, г), находящейся на глубине 0.35 см от поверхности и на расстоянии x_о = 3.0 см позади источника теплоты О, при установившемся процессе. Источник теплоты О в рассматриваемый момент времени переместился за плоскость I-I, где находится точка В, на угол (четверть окружности).

Теплофизические коэффициенты принимаем: ср =5 Дж/см^Зград; а =0,09см²/с; a = 6 ∙ 10^-з Дж/см²  с град.

В качестве расчетного принимаем диаметр цилиндра после наплавки:

см.

Время одного оборота (прохода) τ _h = 20 с.

Скорость сварки

см/с.

Скорость движения источника теплоты вдоль оси х-х

см/с.

Определяем b:

1/с.

Координата рассматриваемой точки

r=R-0.35=3.5-0.35-3.15 см;

.

Время, прошедшее после пересечения плоскости I-I последним проходом n=1, равно одной четвертой времени одного оборота, т. е. с;

координата x₁=x₀ – 0,1=2,9 см.

Определяем мощность источника теплоты Q = UI =0,7- 20 -130= 1820 дж/с.

Необходимые данные для расчета температуры по формуле (4.8) заносим в таблицу 4.1. Значения Фп(r, τ_n) находим по номограмме на рисунке 4.6, в.

Таблица 4.1

Данные для расчета температуры

Номер прохода п	1	2	3
τ n	5	25	45
	0,0367	0,183	0,33
хп	2,9	2,5	2,1
	–4,673	–0,712	–0,303
	0,00393	0,0923	0,1035
Фn(r, τn)	1,65	1,1	1.0
Произведение функций двух предыдущих строк	0,00648	0,1015	0,1035

Находим .

Определяем

.

Находим T_вр по формуле (3.31). Вычислим предварительно

; ;

.

Для определения ₁ вычисляем ρ₁

;

с;

.

По номограмме на рисунке 3.38, в находим ₁ = 0,13.

По формуле (4.11) определяем температуру в рассматриваемой точке

t = 40 + 331(1- 0,13) = 328° С.

С учетом окружающей температуры +20° С имеем t=348°С.

Наплавка на полый цилиндр

При наплавке на полый цилиндр по винтовой линии малого шага также можно использовать схему быстродвижущегося источника теплоты. Принципиально ход рассуждений при выводе формул тот же самый, что и в случае сплошного цилиндра. Определение температур производится по формулам, структура которых аналогична структуре формул (4.12) и (4.13). Отличие заключается в том, что вместо функции Ф_n(r, τ_n), выражающей выравнивание температур в сплошном тонком диске, в формулу входит функция F_n(z, τ_n) (4.4, а), выражающая процесс выравнивания температур в направлении толщины стенки трубы δ:

(4.12)

Коэффициент температуроотдачи b вычисляют с учетом отдачи теплоты наружной и внутренней поверхностями трубы. Причем в случае, если теплоотдача различна (например, охлаждение водой изнутри), величину b подсчитывают по формуле

, (4.13)

где α₁ и α₂ – коэффициенты теплоотдачи наружной и внутренней поверхностями трубы. Последовательность операций при вычислении температур та же, что и в случае сплошного цилиндра.