2.2 Краевые условия

Так как дифференциальное уравнение теплопроводности выведено на основе общих законов физики, то оно описывает явление теплопроводности в самом общем виде. Поэтому можно сказать, что полученное дифференциальное уравнение описывает целый класс явлений теплопроводности. Чтобы из бесчисленного количества выделить конкретно рассматриваемый процесс и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями.

Условия однозначности включают в себя:

– геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в которых протекает процесс;

– физические условия, характеризующие физические свойства среды и тела;

– временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени;

– граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой.

Геометрическими условиями задаются форма и линейные размеры тела, в котором протекает процесс.

Физическими условиями задаются физические параметры тела (λ, с, ρ и др.) и может быть задан закон распределения внутренних источников теплоты.

Начальные условия необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в задании закона распределения температуры тела в начальный момент времени.

В общем случае начальное условие аналитически может быть записано следующим образом (при τ = 0):

T = f(x, y, z) (2.14)

При равномерном распределении температуры в теле начальное условие упрощается (при τ = 0):

T = T₀ = const (2.15)

Граничные условия могут быть заданы несколькими способами.

Граничное условие первого рода состоит в задании распределения температуры по поверхности теплопроводящего тела в любой момент времени, т. е.

Т_s=T_s(x,y,z,τ). (2.16)

Как бы ни изменялась температура внутри тела, температура точек на поверхности тела должна равняться заданной, т. е. подчиняться уравнению 2.16. Кривая распределения температуры в теле (рис.2.2а) на границе тела имеет ординату Т_s, которая может изменяться во времени. Частным случаем граничного условия первого рода является изотермическое граничное условие, при котором температура поверхности тела остаётся в течение всего процесса теплопередачи постоянной:

Т_s= const.

Примером такого условия является интенсивное омывание поверхности жидкостью с определённой температурой. Для расчётов удобно принимать эту постоянную температуру поверхности тела за начало отсчёта температуры, тогда граничное условие выражается как Т_s=0 (рис.2.2,б).

Граничное условие второго рода. При этом условии распределение удельного теплового потока через поверхность тела зависит от поверхностных координат и времени, т.е.:

q_s=q_s(x,y,z,τ).

При этом условии кривая распределения температуры на границе может иметь любую координату, но заданный градиент должен быть обязательно постоянный (рис.2.2,в).

а) б)

в) г)

д) е)

ж)

Рис. 2.2. Типы граничных условий: а и б – условие первого рода; в, г – условие второго рода; д, е – условие третьего рода; ж – условие четвёртого рода

Частным случаем граничного условия второго рода является адиабатическое условие, когда тепловой поток через поверхность тела равен нулю (рис.2.2,г).

Если теплообмен тела с окружающей средой незначителен в сравнении с тепловыми потоками внутри тела, поверхность тела можно считать практически непропускающей тепло. Очевидно, что в любой точке адиабатической границы S удельный тепловой поток и пропорциональный ему градиент по нормали равны нулю

q_s=0,

Граничное условие третьего рода определяет температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. В этом случае (правило Ньютона) количество тепла, передаваемое в единицу времени с единицы поверхности тела с температурой Т_s в окружающую среду с температурой Т₀ в процессе охлаждения (Т_s > Т₀), прямо пропорционально разности температур между поверхностью тела и окружающей среды

q_s= (Т_s - Т₀). (а)

Удельный поток тепла, подтекающий к граничной поверхности со стороны теплопроводящего тела по закону Фурье, пропорционален градиенту температуры по нормали к граничной поверхности:

q_s= . (б)

Приравнивая удельные потоки притекающего (б) и уходящего (а) тепла, получим уравнение граничного условия третьего рода

α∙(Т_s- Т₀)= , (в)

выражающее, что градиент температуры по нормали к граничной поверхности пропорционален градиенту температуры между граничной поверхностью и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в граничной точке проходила через направляющую точку О с температурой Т_о, находящуюся вне тела на расстоянии от границы поверхности (рис. 2.2, д).

В частном случае постоянной температуры окружающей среды, Т_о=const для расчётов удобно принимать эту постоянную температуру за начало отсчёта температур, т. е. Т_о=0. Тогда граничное условие третьего рода выражается наиболее просто (рис. 2.2, е):

(2.17)

Правило Ньютона лишь приблизительно описывает реальный теплообмен конвекцией и излучением между поверхностью твёрдого тела и окружающей жидкой или газообразной средой. При расчёте процессов распространения тепла в металлах, обладающих большой теплопроводностью, приближённые решения условия теплообмена (2.17) можно решить с удовлетворительной точностью.

Из граничного условия третьего рода можно получить, как частный случай, изотермическое условие при , т. е. когда коэффициент теплоотдачи α настолько велик, а коэффициент теплопроводности λ настолько мал, что температура поверхности оказывается близкой к постоянной температуре окружающей среды. Например, при гранулировании флюса в воде, омываемая струёй воды поверхность зёрен флюса быстро приобретает температуру воды.

Адиабатическое условие представляет другой предельный случай условия теплообмена на границе при 0, т. е. когда при весьма малом коэффициенте теплоотдачи и значительном коэффициенте теплопроводности поток тепла через граничную поверхность приближается к нулю. Поверхность металлического изделия, соприкасающаяся со спокойным воздухом при недолгом процессе может приниматься адиабатической, так как действительный поток теплообмена через поверхность незначителен. При длительном процессе поверхностный теплообмен успевает отнять у металла значительное количество тепла, пренебрегать которым уже нельзя.

Выбирая для расчёта тип того или иного простейшего граничного условия, следует помнить, что в действительности поверхность твёрдого тела всегда обменивается теплом с жидкой или газообразной средой. Можно приближённо считать границу тела изотермической в тех случаях, когда интенсивность поверхностного теплообмена заведомо велика, а адиабатической – если интенсивность заведомо мала.

Граничное условие четвёртого рода соответствует теплообмену поверхности тела с окружающей средой (конвективный теплообмен тела с жидкостью) или теплообмену соприкасающихся твёрдых тел, когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова, т. е.

(Т₁)_s=(Т₂)_s . (2.18)

Кроме того, в рассматриваемых случаях имеет место равенство тепловых потоков, проходящих через граничную поверхность, т. е.

. (2.19)

Граничное условие четвёртого рода требует, чтобы отношение тангенсов угла наклона касательных к температурным кривым в точке соприкосновения тел была постоянным (рис. 2.2, ж):

Условие Стефана. При математическом описании теплообмена в задачах, связанных с определением закономерностей плавления металла при сварке, на подвижной границе расплав – твёрдое тело возникает новый тип граничного условия, получившего наименование условие Стефана. В отличие от рассматриваемых выше граничных условий оно существенно нелинейно, так как положение подвижной границы фаз зависит от температуры (или диапазона температур) фазового перехода.

Условие Стефана получают на основе составления баланса энергии на границе раздела фаз. Так, при плавлении вещества условие Стефана на движущейся границе, расплав – твёрдое тело можно записать в следующем виде:

, (2.20)

где индекс 1 относится к жидкой фазе, а индекс 2 – к твёрдой; L_пл – скрытая теплота плавления; ε(t) – подвижная координата фронта плавления.

Условие (2.20) относит задачу определения закономерностей плавления металла при сварке к классу нелинейной задачи и требует особых методов их решения.

Применение граничного условия третьего рода проиллюстрируем примером свободного охлаждения тонкой пластины. Задаёмся граничными условиями:

1. Начальное распределение температуры в пластине равномерно, т. е. при τ = 0 T_s = T_н.

2. Краевое условие зададим по правилу Ньютона:

q_s = α(T_s – T₀) (a)

За время dτ с двух поверхностей пластины 2F будет отдано в окружающую среду количество теплоты dQ

dQ = q_s∙2Fdτ = α (T_s – T₀) 2 F dτ (б)

Температура пластины объёмом δF с теплоёмкостью материала cρ за время dτ понизится на величину dT

(в)

Подставляя выражение (б) в (в) и преобразуя его, находим

, (г)

где носит название коэффициента температуроотдачи для пластины и имеет размерности 1/с.

Интегрируя (г), находим

ln(T_s – T₀) = - bτ + С. (д)

Постоянную интегрирования с определим из начального условия

T_s = T_н при τ = 0:

C = ln(T_н = T₀).

Подставляя С в уравнение (д) и потенцируя, находим

T_s – T₀ = (T_н – T₀)∙e ^{- bτ} . (е)

Закон изменения температуры, описываемой экспонентой e^-bτ, графически показан на рисунке 2.3.

Пример 1. Перед сваркой пластины из стали толщиной δ = 4 см были подогреты до T_н = 550К. Определить, в течение какого времени пластины будут сохранять температуры T_s не ниже 500К; тепловыделением при сварке пренебречь. cρ для стали равно 4.29 Дж/см³∙К; α = 2.5∙10^-3 Вт/(см²∙К); b = 2α/cρδ = 2∙2.5∙10^-3/4.29∙4 = 2.91∙10^-4 1/с.

Из выражения (е) при T₀ = 300 К находим

; .

Определим τ

τ = 0.2232 / 2.19∙10^-4 = 767 с.

Результаты расчета приведены на рисунке 2.3.

Рис.2.3. Изменение во времени температуры равномерно нагретой пластины в процессе свободного охлаждения