3.4 Распространение тепла в ограниченном теле
Мгновенный точечный источник на поверхности полубесконечного тела
Процесс распространения тепла в полубесконечном теле можно представить как часть процесса в соответствующей области бесконечного тела, в котором введены дополнительные источники тепла, оказывающие на процесс распространения такое же действие, как и условия на граничных плоскостях.
Рис. 3.8. Процесс распространения тепла от мгновенного точечного источника в полубесконечном теле
Полубесконечное тело неограниченно простирается по одну сторону от плоскости x0y, т. е. занимает область z>0 (рис. 3.8). Начальная температура тела равна нулю, а граница x0y непроницаемая для тепла (адиабатическое условие). В произвольной точке P'(0,0, -z′) приложен мгновенный точечный источник тепла Q. Если бы вблизи источника не было границы, т. е. тело было бы бесконечным, то температура в точке А от источника P' выражалась бы уравнением (3.4).
Мысленно дополним имеющееся полубесконечное тело второй половиной и поместим в нее фиктивный источник тепла P'' (0,0,z) таким образом, чтобы он создал во всех точках поверхности раздела те же температуры, что и основной источник. Тогда на границе раздела не будет теплового обмена, так как здесь разность температур в любой точке основного и дополнительного тела равна нулю. Это позволяет перейти от полубесконечного тела к бесконечному и в то же время выдержать заданное граничное условие.
Чтобы
тепловые поля в основном и дополнительных
телах были одинаковыми, фиктивный
источник должен иметь одинаковую
мощность с основным и находиться на
таком же расстоянии от граничной
плоскости. Тогда решение сводится к
определению температуры, возникающей
в любой точке бесконечного тела в
результате совместного действия двух
источников равной мощности, расположенных
в точках
и
.
Их общее воздействие равно сумме
воздействия каждого
.
Расстояние
от основного источника тепла P до
исследуемой точки тела А(x,y,z) выражается
уравнением
,
а от вспомогательного источника P'' до
той же точки -
Температура исследуемой точки А от совместного действия обоих источников равна
. (3.12)
Если источник тепла будет находиться на поверхности x0y полубесконечного тела, то z=0. Тогда уравнение (58) примет вид
, (3.13)
где
– квадрат расстояния точки от источника
тепла, м.
Таким образом, процесс распространеия тепла в полубесконечном теле от источника, расположенного на его поверхности, при отсутствии поверхностной теплоотдачи описывается тем же уравнением, что и процесс распространения тепла в бесконечном теле, но при удвоенном количестве тепла.
Температурное поле этого процесса симметрично относительно точки 0. Изотермическими поверхностями являются полусферы с центром в точке 0.
Распределение
температуры по радиус-вектору R описывается
кривыми нормального распределения
(рис. 3.9).
Крутизна этих кривых зависит от значения τ. Вначале процесса кривые распределения температуры будут высокими и крутыми (рис.3.9, а). С течением времени кривые становятся более пологими, температура выравнивается, стремясь к нулю.
Рассмотрим , как изменяется со временем температура точки А, находящейся на расстоянии R от центра. В момент τ=0 температура точки равна нулю. По мере распространения тепла температура точки А повышается, достигает наибольшего значения, а затем падает, стремясь к нулю. Чем ближе к источнику расположена точка, тем раньше начинает возрастать ее температура, тем быстрее она растет и тем выше достигаемое ее наибольшее значение. С течением времени температуры различных точек сближаются и стремятся к нулю (рис.3.9, б).
а) б)
Рис. 3.9. Процесс распространения тепла мгновенного точечного источника в полубесконечном теле: а – распределение температуры по радиусу R в различные моменты времени; б – изменение температуры различных точек во времени
Модель полубесконечного тела с адиабатической границей с сосредоточенным источником тепла на поверхности используется для тепловых расчётов при сварке изделий значительной толщины.
Мгновенный линейный источник в пластине
К линейному элементу 00' пластины толщиной δ приложен в момент времени τ=0 мгновенный линейный источник Q с линейной интенсивностью Q = Q/δ (рис. 3.10).
Рис. 3.10. Схема мгновенного линейного источника в пластине
В процессе распространения тепла линейного источника температура в любой точке пластины будет одинаковая по толщине, если верхняя и нижняя плоскости пластины не пропускают тепла.
Температура в точке А пластины описывается уравнением, аналогичным уравнению (3.5) температурного поля мгновенного линейного источника в бесконечном теле.
Если учитывать теплообмен плоскостей пластины с окружающей средой, то температура по толщине пластины неодинакова.
Влияние теплоотдачи учитывают следующим образом.
Рис. 3.11. Схема теплоотдачи с поверхности нагретого элемента пластины
Пусть на поверхностях пластины толщиной δ имеется теплоотдача с коэффициентом α в окружающую среду. Нагретый до температуры t элементарный объем пластины δdx dy отдает за время dτ в окружающую среду через обе поверхности пластины количество тепла
dQ=2∙α∙t∙dx∙dy∙dτ , (а)
где α – коэффициент поверхностной теплоотдачи, Дж/(м2∙с∙К).
Мгновенное понижение температуры за счет теплоотдачи
(б)
Выражая
скорость охлаждения как
,
получаем
, (в)
где
– коэффициент теплоотдачи, с-1.
Уравнение температуры в любой точке пластины с теплоотдачей от мгновенного линейного источника имеет вид
(3.14)
где
– расстояние точки от источника тепла,
м.
Теплоотдача возрастает с увеличением времени процесса τ и коэффициента температуроотдачи b, т. е. с уменьшением толщины пластины δ, объемной теплоемкости и с увеличением коэффициента теплоотдачи α.
Температурное поле (3.14) симметрично относительно оси 0z, т.е. изотермическими поверхностями являются круговые цилиндры с осью 0z.
Качественно процесс распространения теплоты в пластине протекает так же, как и в полубесконечном теле. Однако время τ в уравнение (3.14) входит в первой степени, а в уравнение (3.13) в степени 3/2. Поэтому процесс распространения тепла в пластине замедлен по сравнению с процессом в полубесконечном теле. Это обусловлено тем, что поток тепла в пластине оттеснен ограничивающими ее плоскостями.
Чем больше τ и чем меньше δ, тем более необходимо учитывать поверхностную теплоотдачу.
Мгновенный плоский источник в стержне
Рис. 3.12. Схема мгновенного плоского источника в стержне
В
сечении x=0 неограниченного стержня в
момент τ=0 приложен мгновенный плоский
источник Q, распределенный равномерно
по сечению стержня с поверхностной
интенсивностью
.
Тепло распространяется только в направлении оси 0x, т. е. процесс является линейным.
Если боковая поверхность стержня не пропускает тепло, то температуру можно считать выровненной по поперечному сечению и ее значение будет аналогично уравнению (3.6) температурного поля мгновенного плоского источника в бесконечном теле.
Учёт теплоотдачи с поверхности стержня
Элементарный объём FCdx, нагретый до температуры t, отдаёт за время dτ через боковую поверхность Рdx в окружающую среду с нулевой температурой количество тепла
dQ=α∙t∙P∙dxdτ (а)
Мгновенная скорость изменения температуры, обусловленая поверхностной теплоотдачей, будет равна равна
(б)
где
- коэффициент теплоотдачи для стержня,
1/с.
Рис. 3.13. Схема теплоотдачи с поверхности тела: Р – периметр сечения стержня,
FC – площадь сечения стержня
Линейный процесс распространения тепла в стержне с поверхностной теплоотдачей, внесенного плоским источником, имеет вид
, (3.15)
где x – расстояние точки от источника тепла, м.
Теплоотдача
с поверхности стержня учитывается
множителем
.
Теплоотдача возрастает с увеличением
τ, α, Р и с уменьшением F и cρ.
Температурное поле (3.15) является линейным и симметричным относительно плоскости x=0. Тепловой поток в стержне еще более стеснен по сравнению с полубесконечным телом и пластиной, поэтому процесс изменения температуры во времени в стержне происходит еще медленнее, чем в пластине (рис. 3.14).
Рис. 3.14. Изменение температуры в точке приложения источника тепла в зависимости от формы тела: 1 – полубесконечное тело; 2 – пластина;3 – стержень