3.2 Мгновенные сосредоточенные источники в бесконечном теле

Мгновенный точечный источник

В начальный момент времени =0 в бесконечно малом элементе dx∙dy∙dz неограниченного теплопроводящего тела, находящегося при начальной нулевой температуре , сосредоточено количество тепла Q (рис.3.3).

Рис. 3.3. Мгновенный точечный источник в бесконечном теле

Теплофизические свойства тела характеризуются коэффициентом теплопроводности , объемной теплоемкостью ср и коэффициентом теплопроводности а. Эти коэффициенты остаются постоянными во всем теле за все время процесса и не зависят от температуры.

Совместим с элементом объема dx∙dy∙dz начало 0 прямоугольной системы координат x, y, z. Тогда процесс распространения тепла мгновенного точечного сосредоточенного источника Q в бесконечном теле выразится уравнением

, (3.4)

где Q – количество тепла, Дж; R=x²+y²+z² – квадрат расстояния от источника тепла Q до точки А с координатами x, y, z; τ – время, отсчитываемое с момента введения источника тепла Q.

Это уравнение является особым решением дифференциального уравнения теплопроводности (2.6). Процесс (3.4) симметричен относительно точки 0, т. е. температура любой точки тела определяется только ее сферическим радиус-вектором R. Изотермическими поверхностями являются сферы R=const с центром в точечном источнике 0.

В начальный момент =0 уравнение (3.4) дает бесконечно большую температуру в точке 0, т. е. t(0,0) , так как в этот момент количество тепла Q сосредоточено в бесконечно малом объёме. В весьма удаленных от источника точках, где R , температура во время процесса остается равной нулю, t( ,)=0⁰С.

Частные случаи уравнения (3.4)

а) Изменение температуры источника с течением времени

Для источника R=0

Температура источника падает по закону полукубической гиперболы.

При τ = 0 t = ∞

При τ → ∞ t → 0.

б) Распределение температуры в теле в отдельные моменты времени

τ = const = τ_k

τ₁< τ₂< τ₃

Распределение температуры в теле в любой момент времени описывается законом нормального распределения (кривая Гаусса, изохроны).

Эти кривые называются изохронами (каждая изохрона получена при постоянном значении времени).

в) Изменение температуры в некоторой точке с течением времени.

Температура в точках, неравных нулю в начальный момент, в процессе выравнивания сначала возрастает, затем проходит через максимум, определяемый при условии , и снова падает. Наибольшая температура в точке, находящейся на расстоянии R от источника равна

Эта температура наступает в момент времени

, с

Чем ближе рассматриваемая точка к источнику, тем выше ее максимальная температура за время выравнивания и тем раньше наступает максимум температуры.

Рассмотренное уравнение t =t(R, τ) для бесконечного тела может быть использовано для изучения процесса распространения тепла в полубесконечном теле.

Мгновенный линейный источник

Неограниченное теплопроводящее тело находится при начальной нулевой температуре t =0 С. В начальный момент времени в линейном элементе объема, представляющем бесконечную призму с бесконечно малым основанием dx , dy, и с осью, совпадающей с осью 0z, сосредоточено тепло с равномерной линейной интенсивностью Q (рис.3.4).

Рис.3.4. Мгновенный линейный источник в бесконечном теле

Процесс распространения тепла мгновенного линейного источника Q в бесконечном теле выразится уравнением

(3.5)

где Q – равномерная линейная интенсивность, Дж/м; r²=x²+y² – квадрат расстояния от источника тепла OZ до точки А(x, y, z).

Процесс (3.5) симметричен относительно оси 0z. Температурное поле является плоским, т. е. температура не зависит от координаты z, так как размеры источника в направлении оси 0z не ограничены. Изотермические поверхности – круговые цилиндры с осью 0z.

Мгновенный плоский источник

Неограниченное теплопроводящее тело находится при начальной нулевой температуре t =0 C. В начальный момент времени =0 в элементе объема, представляющем бесконечно плоский слой с основанием, совпадающим с плоскостью y0z, и с бесконечно малой высотой dx, сосредоточено тепло с равномерной поверхностной интенсивностью Q (рис.3.5). Процесс распространения тепла мгновенного плоского источника Q в бесконечном теле выразится уравнением

(3.6)

где Q – равномерная поверхностная интенсивность, Дж/м ; x – расстояние от источника тепла до точки A (x, y, z).

Рис. 3.5. Мгновенный плоский источник в бесконечном теле

Процесс симметричен относительно плоскости y0z. Так как размеры источника в плоскости y0z неограниченны, температурное поле является линейным, т. е. температура зависит только от координаты x. Изометрические поверхности – плоскости, параллельные плоскости y0z .

Точечный источник является сосредоточенным по отношению ко всем координатным осям. Линейный источник является сосредоточенным по отношению к двум координатным осям и распределённым в третьем направлении. Плоский источник является сосредоточенным лишь в одном направлении.