2.3 Методы расчёта тепловых процессов

Для решения задач теплопроводности применяют аналитические, численные и методы физического и математического моделирования.

Аналитические методы состоят в подборе уравнения процесса, удовлетворяющего дифференциальному уравнению теплопроводности и краевым условиям. Из аналитических методов наиболее часто используют метод непосредственного интегрирования, метод интегральных преобразований и метод источников. Для расчётов применительно к сварке наиболее простым является метод источников.

Численные методы применяют главным образом в тех случаях, когда получение аналитического решения ввиду сложности условий задачи становится весьма трудоёмким или невозможным. Наибольшее распространение среди численных методов при решении задач технологической теплофизики получил метод конечных разностей. При расчётах по этому методу дифференциальное уравнение теплопроводности заменяют соответствующим уравнением в конечно-разностной форме. Расчёт можно вести только для условий задачи при определенных численных значениях всех постоянных параметров. Ввиду конкретности условий, для которых осуществляют вычисления, численный анализ является справедливым только для этих условий. Поэтому единичный результат численного счёта не позволяет непосредственно выявить обобщённые закономерности, как это можно сделать на основании формул, полученных аналитическим путём.

Методы моделирования основаны на использовании теории подобия. Они применяются для решения тепловых задач в тех случаях, когда аналитические и численные методы затруднены.

Перечисленные аналитические методы дают возможность получить решения только для процессов, описываемых линейными дифференциальными уравнениями при линейных граничных условиях. Это исключает возможность принятия теплофизических свойств металла зависимыми от температуры. Поэтому для тепловых расчётов применительно к сварке значения коэффициента теплопроводности λ, объёмной теплоёмкости ср, коэффициента температуропроводности а и коэффициента теплопередачи α принимают постоянными, не зависящими от температуры. Также пренебрегают и теплотой фазовых превращений. Для технических целей в ряде случаев точность решения оказывается достаточной, если выбирать средние значения коэффициентов λ, ср, а и α в диапазоне температур, характерном для рассматриваемого процесса. Судить о том, насколько удачно выбраны постоянные коэффициенты, можно на основании сравнения опытных и расчетных значений температур. Для расчетов температур при сварке сталей рекомендуется выбирать коэффициенты, соответствующие диапазону 500-600 °С.

Из аналитических методов в технологической теплофизике реже других применяют классический метод непосредственного интегрирования. Его используют главным образом для простых одномерных задач. Это обусловлено сложностью, а иногда и невозможностью непосредственного интегрирования дифференциального уравнения теплопроводности при заданных краевых условиях. Более широкое применение, чем метод непосредственного интегрирования, в технологической теплофизике получили методы интегральных преобразований (операционные). Достоинством этих методов является возможность получения сравнительно простых аналитических выражений для различных состояний процессов. Суть их заключается в замене дифференциальной операции в изучаемом уравнении по одной или нескольким координатам или времени на более простую – алгебраическую. Так, например, согласно методу Лапласа, вначале отыскивают не саму интересующую нас функцию, так называемый оригинал, а её видоизменённое изображение, что облегчает интегрирование дифференциального уравнения. После решения задачи в изображениях производят обратное интегральное преобразование, т. е. осуществляется переход от изображения к оригиналу – искомой функции распределения температур.

Метод источников. Наибольшее распространение среди аналитических методов решения задач теплопроводности при сварке и других технологических процессах получил метод источников, развитых в работах академика Н.Н.Рыкалина. Его аналог в математической физике – метод функции Грина. Он представляет собой гибкий, удобный в инженерных приложениях математический аппарат, позволяющий описывать тепловые явления в различных технологических процессах. С помощью метода источников сравнительно просто можно написать интеграл, удовлетворяющий дифференциальному уравнению теплопроводности и краевым условиям; дальнейшей задачей является лишь вычисление интеграла. В этом одно из преимуществ метода источников по сравнению с другими аналитическими методами, где отыскание вида интеграла, удовлетворяющего дифференциальному уравнению теплопроводности и краевым условиям, представляет для более или менее сложных технологических условий значительные трудности.

Метод источников основывается на использовании решения уравнения теплопроводности для простейшего случая – мгновенного точечного источника в неограниченном теле. Имея это решение и используя принцип суперпозиции (наложения), можно посредством известных математических операций получить источник любой формы, движущийся или неподвижный, действующий временно или непрерывно. Так, например, мгновенный линейный источник представляют как бесконечное множество мгновенных точечных источников, расположенных рядом на линии и действующих одновременно. Мгновенный плоский источник представляют как совокупность бесконечного множества мгновенных точечных источников, расположенных на плоскости. Непрерывно действующий подвижный источник можно представить в виде системы мгновенных точечных источников, действующих в последовательные моменты времени в точках, расположенных по оси перемещения источника, и т. д.

Принцип наложения. Этот принцип справедлив только для линейных задач теплопроводности и состоит в том, что температура в процессе распространения теплоты при совместном действии ряда источников рассматривается как сумма температур от действия каждого из источников в отдельности. Действительно, если в неограниченном теле или в ограниченном, но с линейными и однородными граничными условиями, действует ряд сосредоточенных источников теплоты и процесс распространения теплоты подчиняется линейному и однородному уравнению теплопроводности:

, (2.21)

то вызываемые отдельными источниками пространственно - временные температурные поля друг на друга не влияют и могут складываться, образуя поле совместного действия, так как сумма любого числа частных решений линейного дифференциального уравнения также удовлетворяет этому уравнению.