3.3. Распределенные и непрерывно действующие источники

Источники тепла, распределенные по поверхности или по объему тела, можно представить как совокупность сосредоточенных источников – точечных, линейных, плоских. Непрерывно действующие источники также можно представить как совокупность мгновенных источников, распределенных по промежутку времени действия источника. Процесс распространения тепла от каждого из элементарных источников (мгновенных сосредоточенных) выражается уравнениями (3.4), (3.5), (3.6). Процессы распространения тепла распределенных и непрерывно действующих источников описываются выражениями, получаемыми наложением элементарных решений.

Принцип наложения. Пусть в теле действует ряд сосредоточенных источников. Коэффициенты не зависят от температуры. Тогда дифференциальное уравнение (2.7) и граничные условия типа (2.17) становятся линейными. Поэтому тепло каждого источника распространяется по телу независимо от действия других источников, т. е. так, как тепло от одиночного источника. Процессы распространения тепла отдельных источников не взаимодействуют между собой, а просто накладываются друг на друга.

Принцип наложения состоит в том, что температура в процессе распространения тепла при совместном действии ряда источников рассматривается как сумма температур от действия каждого из источников в отдельности.

Используя принцип наложения, определим температурное поле непрерывно действующего точечного источника. Имеем бесконечное теплопроводящее тело при нулевой начальной температуре. В момент времени =0 в точке 0 тела начинает действовать точечный источник мощностью q(). Промежуток времени  действия непрерывно действующего источника разобъем на бесконечно малые элементы d' (рис. 3.6)

Рис. 3.6. Разбивка промежутка времени действия непрерывного источника на элементы

Элементарное количество тепла, выделившееся в точке 0 за элемент времени d' через ' после начала действия источника, можно рассматривать как мгновенный точечный источник, приложенный в момент ':

. (а)

Элемент тепла dQ распространяется по телу в течение времени -' и вызывает к моменту  элементарное повышение температуры в соответствии с уравнением (3.4)

. (б)

По принципу наложения температура t(R,τ) в момент τ при действии непрерывного точечного источника равна сумме температур dτ от всех элементарных количеств тепла dQ, выделившихся за время действия источника:

. (в)

Подставляя выражения (а) и (б) в интеграл (в), получим уравнение процесса распространения тепла непрерывно действующего точечного источника в бесконечном теле

. (3.7)

Процессы распространения тепла непрерывно действующих линейных и плоских источников выражают аналогичным образом, суммируя по выражению (в) элементарные процессы (3.5) и (3.6).

Рассмотрим частный случай, когда мощность источника постоянна и равна q. С учетом этого уравнение (3.7) имеет вид

. (3.8)

Интеграл уравнения (3.8) выразим через функцию интеграла вероятности (u) подстановкой

; ;

. (г)

Учитывая, что

; ;

получаем уравнение процесса распространения тепла в бесконечном теле

. (3.9)

Температура точечного источника t(0,τ)= во все время процесса остается бесконечно большой, вследствие того, что вводимое тепло сосредоточено в точке. По мере удаления от источника температура уменьшается и в весьма удаленных областях стремится к нулю, t( ,τ)=0 (рис. 3.7,a)

а) б)

Рис. 3.7. Процесс распространения тепла от непрерывно действующего точечного источника в бесконечном теле: а – распространение температуры в разные моменты времени; б – изменение температуры со временем в различных точках на расстоянии R

Температуры всех точек тела во время действия источника возрастают, стремясь к предельным значениям t_пр устанавливающимся при достаточно длительном действии источника, τ (рис. 3.7, б), тогда

Ф = 0;

. (3.10)

В предельном состоянии процесса нагрева бесконечного тела точечным источником тепла постоянной мощности температура убывает обратно пропорционально расстоянию R от источника. Температура всех точек тела со временем не изменяется. Такое состояние процесса распространения тепла называется стационарным.

В стационарном состоянии расход тепла через любую изотермическую сферическую поверхность с радиусом R по закону Фурье

. (3.11)

одинаков и равен мощности точечного источника.

Отсюда следует, что тепло, вводимое источником, распространяется в неограниченном теле, не изменяя его температуры (уравнение (3.10)).