12: Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Для расчетов на прочность используются условия прочности и жесткости. ,

Эти условия позволяют решать основные типы задач сопротивления материалов (проверочные, проектные, задачи на определение несущей способности).

Особенности решения статически неопределимых систем, при кручении, заключаются в том, что известные алгоритмы решении рассматриваются с позиции совместных перемещений, при кручении, в соответствии с законом Гука и использованием выражения:

Пример решения задач на кручение

1.Статически определимая

Дано: Т₂=2,7*10³ Н*м

Т₃=2*10³ Н*м

Т₄=1,3*10³ Н*м

А=0,3м

[τ]=20МПа

G=8*10⁴ МПа

[Θ]=0,25 °/м

1.Определение внешнего крутящего момента Т₁ (из условия равновесия) Т₁=Т₂+Т₃+Т₄=6*10³ Н*м

2.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала. (как внутренний силовой фактор)

Т_AB= -Т₂= -2,7*10³ Н*м

Т_BC= -Т₂+Т₁=3,3*10³ Н*м

Т_CD= -Т₂+Т₁+Т₃=1,3*10³ Н*м

3.Определение диаметра вала из условия прочности

4. определение диаметра вала из условия жесткости

Анализируя результаты мы можем считать что более жестким является условие жесткости, тогда принимаем d=100мм

5.Принимаем, что φ_А=0

2. Пример решения статически неопределимой задачи.

Дано:

Т=2*10³ Нмм

а=1м

d=100мм

G=8*10⁴МПа

Требуется построить эпюры Т_х и φ_х.

Решение:

1.Статика

Т_А-Т₁+Т_С=0 –уравнение равновесия, одно уравнение с двумя неизвестными (система статически неопределима).

2.Геометрия

φ_AB+ φ_BC=0 углы закручивания.

3.Физика

4.T_AB=T_A

T_BC=T_A-T

T_A*a+(T_A-T)2a=0

3T_A-2T=0

5.Определение крутящих моментов действующих в сечении вала.

T_AB= -T_A=8*10³ Нм

Т_BC=T_A-T= -4*10³ Нм

6.Определение углов закручивания

φ_А=0

13: Поперечный изгиб. Поперечная сила и изгибающий момент.

14: Усталостная прочность. Расчеты при совместном действии кручения и изгиба. Поперечный изгиб

Чистый изгиб и его особенности

Брусья, работающие на изгиб, называются балками.

Прямым поперечным изгибом называется изгиб, когда внешняя сила перпендикулярна продольной оси балки и проходит через ось симметрии.

(Сила Р вызывает прямой поперечный изгиб, а сила Р1 – косой изгиб).

Косой изгиб реализуется, когда силы образуют угол с плоскостью симметрии величиной отличающейся от 90 град, и проходят через ось балки.

В поперечных сечениях балки при изгибе возникают два внутренних фактора: поперечные силы и изгибающие моменты.

Если поперечная сила равна нулю, и действует только изгибающий момент, то такой изгиб называют чистым изгибом.

Допущения

1. Плоские поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются на некоторый равный угол, одно относительно другого, при действии изгибающего момента.

2. Плоские продольные сечения искривляются.

3. Слои на вогнутой стороне балки сжимаются, а на выгнутой – растягиваются. Нейтральный слой не изменяет своей длины, а следовательно является ненагруженным.

Определение внутренних силовых факторов.

Внутренние силовые факторы:

- внутренняя сила,

- изгибающий момент,

зависят от внешней нагрузки и изменяются по длине балки.

Для составления уравнений, определяющих значения и , и построения

соответствующих эпюр, принимают следующий правила:

рис.1

Для изгибающих моментов:

Если балка изгибается под действием моментов выпуклостью вниз, то внутренний силовой фактор – момент, действующий в данном сечении балки, принято считать положительным и наоборот; если изгиб происходит выпуклостью вверх, то момент, действующий в сечении балки, будет отрицателен.

Для поперечных сил:

Поперечная сила будет положительна, если внешние силы стремятся приподнять левую часть балки относительно правой, или опустить правую часть балки относительно левой, и наоборот.

Определение значений:

Поперечные силы:

Поперечная сила определяется как алгебраическая сумма сил, расположенных по одну сторону от данного сечения.

Изгибающие моменты:

Изгибающий момент в любом сечении балки равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от данного сечения.

q – распределенная сила.

2) Определение поперечной силы, действующей в сечении х.

3)Определение изгибающего момента, действующего в сечении х.

Теорема Журавского (для Рис.3)

В соответствии с теоремой Журавского, поперечная сила является производной от момента, действующего в сечении, на расстоянии х.

Нормальные напряжения при изгибе.

Нормальные напряжения при изгибе вызываются изгибающим моментом, действующим в данном сечении.

В соответствии с законом Гука ,

Относительное удлинение при растяжении, которое реализуется, входе деформации изгиба - .

Дуга

рис.2

Тогда закон Гука примет вид .

- момент инерции относительно нейтральной оси

если

Касательные напряжения при изгибе вызванные действием поперечных сил.

рис.1

Касательное напряжение - функция статического момента площади.

с учетом (2)

A=b(h/2-y) (3)

(4)

с учетом (3) и (4)

Рассмотрим граничные условия:

При y=h/2 S=0 τ=0

y=-h/2 s=0 τ=0

y=0

Для сложных форм сечения фигуру разбивают на отдельные части и рассчитывают суммарный статический момент площади поэлементно.

Расчеты на прочность при изгибе

Рассмотрим различные напряженные состояния и возможные условия прочности.

1. В точках 1 и 4 касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения максимальны и могут быть определены зависимостью ≤[σ]

2. точка 3. Нормальные напряжения равны нулю, касательные напряжения максимальны и определяются уравнением:

1. точка 2.

В соответствии с третьей теорией прочности

Условие прочности для хрупких материалов:

, где - расстояние до растягивающихся или сжимаемых волокон.