2. Формулы сложения вероятностей

В случаях, когда интересующее событие является суммой других событий, для нахождения его вероятности используется формула сложения.

Формула сложения имеет две основные разновидности – для совместных и для несовместных событий. Обосновать эти формулы можно, используя диаграммы Венна (рис. 21). Напомним, что на этих диаграммах вероятности событий численно равны площадям соответствующих этим событиям зон.

Для двух несовместных событий :

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (8, а)

Для N несовместных событий, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

= . (8б)

Из формулы сложения несовместных событий имеются два важных следствия.

Следствие 1. Для событий, образующих полную группу, сумма их вероятностей равна единице:

= 1.

Это объясняется следующим. Для событий, образующих полную группу, в левой части выражения (8б) находится вероятность того, что произойдёт одно из событий А_i , но так как полная группа исчерпывает весь перечень возможных событий, то одно из таких событий произойдёт обязательно. Таким образом, в левой части записана вероятность события, которое обязательно произойдёт – достоверного события. Вероятность его равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:

Р(А) + Р(Ā) = 1.

Это следствие вытекает из предыдущего, так как противоположные события всегда образуют полную группу.

Пример 15

Вероятность работоспособного состояния технического устройства равна 0,8. Найти вероятность отказа этого устройства за тот же период наблюдений.

Решение.

Важное замечание. В теории надёжности принято вероятность работоспособного состояния обозначать буквой р, а вероятность отказа - буквой q. В дальнейшем будем использовать эти обозначения. Как та, так и другая вероятности являются функциями времени. Так, для больших периодов времени вероятность работоспособного состояния любого объекта приближается к нулю. Вероятность отказа любого объекта близка к нулю для малых периодов времени. В тех случаях, когда период наблюдения в задачах не указан, подразумевается, что он одинаков для всех рассматриваемых объектов.

Нахождение устройства в состояниях работоспособности и отказа – противоположные события. Пользуясь следствием 2, получим вероятность отказа устройства:

q = 1 – р = 1 – 0,8 = 0,2.

Для двух совместных событий формула сложения вероятностей имеет вид:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ), (9)

что иллюстрирует диаграмма Венна (рис. 22).

Действительно, чтобы найти всю заштрихованную площадь (она соответствует сумме событий А + В), нужно из суммы площадей фигур А и В вычесть площадь общей зоны (она соответствует произведению событий АВ), так как иначе она будет учтена дважды.

Для трех совместных событий формула сложения вероятностей усложняется:

Р(А+В+С)=Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) + Р(АВС). (10)

На диаграмме Венна (рис. 23) искомая вероятность численно равна общей площади зоны, образованной событиями А, В и С (для упрощения рисунка единичный квадрат на нем не показан).

После того, как из суммы площадей зон А, В и С вычтены площади зон АВ, АС и СВ получилось, что площадь зоны АВС была просуммирована трижды и трижды вычтена. Поэтому для учета этой площади она должна быть добавлена в окончательное выражение.

При увеличении числа слагаемых формула сложения становится всё более и более громоздкой, но принцип её построения остаётся прежним: сначала суммируются вероятности событий взятых по одиночке, затем вычитаются вероятности всех по парных комбинаций событий, прибавляются вероятности событий взятых тройками, вычитаются вероятности комбинаций событий взятых четверками и т.д.

В итоге следует подчеркнуть: формула сложения вероятностей совместных событий при количестве слагаемых от трех и более громоздка и неудобна к применению, использование ее при решении задач нецелесообразно.

Пример 16

Для ниже приведенной схемы электроснабжения (рис. 24) определить вероятность отказа системы в целом Q_С по вероятностям отказа q_i отдельных элементов (генератора, трансформаторов и линии).

Состояния отказа отдельных элементов системы электроснабжения, так же как и состояния работоспособности, всегда являются попарно совместными событиями, так как нет никаких принципиальных препятствий к тому, чтобы одновременно производился ремонт, например, линии и трансформатора. Отказ системы наступает при отказе любого её элемента: или генератора, или 1-го трансформатора, или линии, или 2-го трансформатора, или при отказе любой пары, любой тройки или всех четырёх элементов. Следовательно, искомое событие – отказ системы является суммой отказов отдельных элементов. Для решения задачи может быть использована формула сложения совместных событий:

Q_с = q _г + q _т1 + q _л + q _т2 – q _гq _т1 – q _гq _л – q _гq _т2 – q _т1q _л – q _т1q _т2 – q _лq _т2 + q_гq_т1q_л + q _гq _лq _т2 + q _гq _т1q _т2 + q _т1q _т2q _л – q_г q _т1q _лq _т2.

Это решение ещё раз убеждает в громоздкости формулы сложения для совместных событий. В дальнейшем будет рассмотрен другой более рациональный способ решения данной задачи.

Полученное выше решение может быть упрощено с учётом того, что вероятности отказов отдельных элементов системы электроснабжения для применяемого обычно в расчётах надежности периода в один год достаточно малы (порядка 10^-2). Поэтому все слагаемые кроме первых четырех можно отбросить, что практически не повлияет на численный результат. Тогда можно записать:

Q_с≈ q _г + q _т1 + q _л + q _т2.

Однако к подобным упрощениям надо относится осторожно, внимательно изучая их последствия, так как часто отбрасываемые слагаемые могут оказаться соизмеримыми с первыми.

Пример 17

Определить вероятность работоспособного состояния системы Р_С, состоящей из трех резервирующих друг друга элементов.

Решение. Резервирующие друг друга элементы на логической схеме анализа надёжности изображаются соединенными параллельно (рис. 25):

Резервированная система работоспособна, когда работоспособен или 1-й, или 2-й, или 3-й элемент, или работоспособна любая пара, или все три элемента совместно. Следовательно, работоспособное состояние системы есть сумма работоспособных состояний отдельных элементов. По формуле сложения для совместных событий Р_с = Р₁ + Р₂ + Р₃ – Р₁Р₂ – Р₁Р₃ – Р₂Р₃ + Р₁Р₂Р_3., где Р₁, Р₂ и Р₃ – вероятности работоспособного состояния элементов 1, 2 и 3 соответственно.

В данном случае упрощать решение, отбрасывая по парные произведения нельзя, поскольку такое приближение даст значительную погрешность (эти произведения обычно числено близки к первым трём слагаемым). Как и в примере 16, эта задача имеет другое более компактное решение.

Пример 18

Для двухцепной линии электропередачи (рис. 26) известна вероятность отказа каждой цепи: q₁ = q₂ = 0,001. Определить вероятности того, что линия будет иметь стопроцентную пропускную способность – Р(R₁₀₀), пятидесяти процентную пропускную способность - Р(R₅₀), и вероятность того, что система откажет – Q.

Линия имеет стопроцентную пропускную способность, когда работоспособна и 1-я и 2-я цепь:

Р(100%) = р₁р₂ = (1 – q₁)(1 – q₂) =

= (1 – 0,001)(1 – 0,001) = 0,998001.

Линия отказывает, когда отказывает и 1-я и 2-я цепь:

Р(0%) = q₁ q₂ =0,001∙0,001 = 10^-6.

Линия имеет пятидесяти процентную пропускную способность, когда работоспособна 1-я цепь и отказала 2-я, или когда работоспособна 2-я цепь и отказала 1-я:

Р(50%)= р₁q₂ + р₂ q₁ = 2∙0,999∙10^-3 = 0,001998.

В последнем выражении использована формула сложения для несовместных событий, каковыми они и являются.

События, рассмотренные в этой задаче, составляют полную группу, поэтому сумма их вероятностей составляет единицу.