6. Формула Бернулли (частная теорема о повторении опытов)
Пример 23
Имеется три лотерейных билета. Вероятность выигрыша для любого билета одинакова и равна р. Вероятность того, что билет не выиграет q = 1 – p – как вероятность противоположного события. Определить вероятность того, что из трех билетов выиграют ровно два.
Искомую
вероятность обозначим
.
Интересующее нас событие произойдет, если выиграет первый И второй билет И не выиграет третий ИЛИ не выиграет первый билет И выиграют второй И третий ИЛИ не выиграет второй билет И выиграют первый И третий. Вероятность каждого из этих вариантов может быть найдена по формуле умножения, а ответ подсчитан по формуле сложения для несовместных событий:
=
ppq
+ qpp
+ pqp
= 3p2q.
Анализируя решение задачи, выясняем, что она была решена в следующем порядке:
составлены различные варианты осуществления интересующего события;
подсчитано количество этих вариантов;
определена вероятность появления события, путём осуществления любого варианта;
найдена искомая вероятность путём умножения вероятности появления события по одному из вариантов на общее количество вариантов.
Фактически, задача была решена по, так называемой, формуле Бернулли. Запишем ее в общем виде.
Пусть производится серия из n опытов (испытаний). Опыты проводятся неоднократно, независимо один от другого и в одинаковых условиях, так что вероятность появления события А от опыта к опыту не меняется и равняется р. Обозначим вероятность не появления события А в одном опыте- q = 1-p. Требуется определить вероятность того, что в серии из n опытов событие А повторится k раз – обозначим это событие как В.
Событие В может осуществиться различными способами (вариантами). Например, таким:
или
таким:
Важно
то, что в любом варианте количество
появлений события А
равно n,
а количество появления события
равно
n
– k,
хотя появляться и не появляться они
будут в разных вариантах в различной
последовательности.
Для определения числа подобных вариантов можно воспользоваться формулой комбинаторики - числом сочетаний из n элементов по k.
Сочетания – это такие комбинации из k объектов (элементов), выбранных из некоторого множества в n объектов, которые содержат одинаковое число объектов, но отличаются друг от друга хотя бы одним из них.
Число
сочетаний из n
элементов по k
обозначается,
как
и может быть найдено по формуле:
=
. (15)
Важным свойством определения числа сочетаний является следующее:
=
.
В рассматриваемой задаче элементами, отличающимися друг от друга, являются номера опытов. Общее число вариантов равно .
Вероятность появления события А n раз для каждого варианта одинакова и может быть найдена по формуле умножения вероятностей исходя из фразы «Событие А произошло k раз и не произошло n – k раз»: pkqn - k
Суммируя эти одинаковые вероятности раз получаем формулу, называемую формулой Бернулли:
=
pkqn-k.
(16)
Необходимо помнить, что р – это вероятность появления интересующего нас события в опыте, а q – вероятность непоявления этого события в опыте.
Формулу Бернулли .(Якоб Бернулли исследовал её в своей книге «Искусство предположений») также называют частной теоремой о повторении опытов. Это значит, что каждый последующий опыт проводится при тех же условиях, что и все предыдущие, т.е. вероятность появления события от опыта к опыту не меняется и остаётся равной р.
Наряду с частной существует общая теорема о повторении опытов (вероятность появления события от опыта к опыту меняется), рассмотрение которой выходит за рамки настоящего курса.
Пример 24
В цехе имеется 10 электродвигателей, вероятность отключенного состояния каждого из которых равна 0,1.Двишгатели включаются в сеть независимо один от другого. Определить вероятность того, что отключены сразу три электродвигателя.
Решение. Условие задачи соответствует схеме повторных испытаний Я. Бернулли. Решаем задачу с использованием частной теоремой о повторении опытов, учитывая, что отключенных двигателей три (вероятность отключенного состояния 0,1), а включенных – 7 (вероятность включенного состояния 0,9):
=
p3q10-3=[10!/3!(10-3)!
]q3(1-q)10-3=120∙(0,1)3∙(0,9)7=0,0574.