Свойства дисперсии:
Дисперсия – неслучайная величина, как и любой другой параметр закона распределения. По этой причине М[DХ] = DХ .
Статистической аналогией дисперсии является статистическая дисперсия.
Для
негруппированного ряда:
;
(34)
Для
группированного ряда:
.
(35)
По закону больших чисел при неограниченном увеличении числа опытов статистическая дисперсия сколь угодно мало будет отличаться от теоретической.
Для практических расчётов нахождение дисперсии как второго центрального момента не очень удобно из-за громоздкости расчётов. Рекомендуется проводить расчёты по формулам, устанавливающим связь дисперсии с начальными моментами:
DХ = α2(х) – mХ2 ; DХ* = α2*(х) – mХ*2 . (36)
Эти формулы получены следующим образом: = М[х2 + 2хmХ + mХ2] = М[х2] - М[2хmХ] + М[mХ2] = α2(х) - 2mХmХ + mХ2 = α2(х) – mХ2.
Дисперсия принимает любые неотрицательные значения.
Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины.
Это свойство дисперсии делает ее неудобным для применения вследствие непривычности получающейся размерности. Например, дисперсия напряжения измеряется в квадратных вольтах, а дисперсия тока в А2 и т.д. По этой причине для характеристики рассеивания часто используют среднее квадратическое отклонение (СКО).
Среднее квадратическое отклонение σХ является квадратным корнем из дисперсии:
. (37)
Размерность СКО совпадает с размерностью СВ.
Дисперсия неслучайной величины С равна нулю:
D [C] = М[(С – М(С))2] = М[(С – С)2] = М[0] = 0.
Неслучайную величину С можно выносить за знак дисперсии, возводя её в квадрат: D[CX] = С2D[Х].
Доказательство: D[CX] = М[(СХ – М(СХ))2] = М[(CХ – СМ(Х))2] = М[С2(Х – М(Х))2] = С2М[(Х – М(Х))2] = С2D[Х].
Пример 32. D[-3X] = 9D[X])
Дисперсия суммы независимых СВ равна сумме дисперсий этих величин:
.
(38)
Доказательство проведём на примере двух дискретных СВ Х и Y (табл.11).
D[X+Y] = М[(Х + Y)2] – (М[Х + Y])2 = М[(Х2 + 2ХY + Y2)] – (М[Х] + М[Y])2 =
= М[Х2] + М[2ХY] + М[Y2] – (М[Х]2 + 2 М[Х] М[Y] + М[Y]2) =
= М[Х2] + 2М[Х]М[Y] + М[Y2] – М[Х]2 - 2 М[Х] М[Y] - М[Y]2) =
= М[Х2] – М[Х]2 + М[Y2] - М[Y]2) = D[X]+D[Y].
При большем числе слагаемых это свойство можно обосновать, используя приём, применённый для 7-го свойства МО.
Следствие 1. Дисперсия разности независимых СВ равна сумме дисперсий: D[X – Y] = D[X] + D[-Y] = D[X] + (-1)2D[Y] = D[X] + D[Y].
Следствие 2: Дисперсия суммы случайной и неслучайной величин равна дисперсии случайной величины: D[X+C] = D[X] + D[C] = D[X].
Так как суммирование неслучайной и случайной величин равноценно сдвигу начала координат в новую точку, можно заключить: дисперсия СВ не зависит от выбора начала координат.
Дисперсия произведения независимых СВ определяется выражениями:
- для двух СВ: D[XY] = М[(ХY)2] – М[ХY]2 = М(Х2Y2) – (М[Х]М[Y])2 =
= М[Х2]М[Y2] – (М[Х]2М[Y]2 = (D[Х] + mХ2) (D[Y] + mY2) - mХ2 mY2 =
= D[Х] D[Y] + mХ2D[Y] + mY2D[Х].
для n независимых случайных величин:
.
(39)
Пример 33. Определить дисперсию 3Х – 2Y – 4, если D[Х] = 5, D[y] = 6.
Решение:D[3Х – 2Y + 4] = D[3X] + D[-2Y] + D[4] = 9D[X] + 4D[Y] = 9·5 + 4·6 = 69.