Основные параметры законов распределения случайных величин

Закон распределения вероятностей позволяет максимально подробным образом охарактеризовать случайную величину. Однако определить его при решении практических задач непросто. Это требует углубленного исследования, сбора большого объёма информации. Но для большого круга задач нет необходимости находить сам закон. Достаточно воспользоваться отдельными параметрами этого закона.

Параметр закона распределения – это числовая характеристика того или иного свойства случайной величины.

Первая группа параметров – это, так называемые, параметры положения случайной величины. К ним относятся параметры, которые характеризуют расположение случайной величины на числовой оси. К ним относятся мода, медиана и математическое ожидание.

Мода и медиана случайной величины

«Мода» (модальное значение) – это значение Мо случайной величины, имеющее наибольшую вероятность (для дискретных СВ) или плотность вероятности (для непрерывных СВ). Часто моду определяют не для распределения в целом, а только для его локального участка. Если можно выделить несколько модальных значений, то говорят о полимодальном распределении (например, бимодальном – рис. 46). В ином случае распределение называют унимодальным (рис. 47). Иногда для СВ с явно выраженным минимальным значением вероятности (плотности вероятности) используют термин – антимодальное распределение (рис.48).

Для эмпирических распределений часто говорят о модальном разряде – интервале с наибольшей относительной частотой. При необходимости моду для статистического распределения можно найти упрощенным способом (рис. 49).

Медиана - это то значение СВ, для которого выполняется следующее соотношение: вероятность того, что значение СВ окажется меньше «медианы», равна вероятности того, что значение СВ окажется больше или равным «медиане», то есть:

Р(Х < Ме) = Р(Х ≥ Ме). (18)

Но так как в сумме эти вероятности должны давать единицу, то каждая из них равна 0,5.

Так как вероятность Р(Х < Ме) того, что СВ принимает значение меньше текущего, есть ничто иное как функция распределения вероятностей, можно записать: F(Ме) = 0,5.

Для непрерывных СВ медиана делит площадь под кривой распределения на две равные части.

Математическое ожидание св и его свойства

Если две предыдущие характеристики положения находят достаточно ограниченное положение, то математическое ожидание (МО) является важнейшей характеристикой положения, тем параметром закона распределения, без которого не обходится ни один анализ случайных величин.

Математическое ожидание является средним значением СВ (центром распределения СВ) и обозначается – М[Х] или m_Х.

Статистической аналогией МО является , так называемое, «среднее статистическое» («выборочное среднее»), которое есть ничто иное, как среднее арифметическое наблюдавшихся эмпирических значений СВ - М[Х]* или m_Х*.

Пример 28.

Найти средний балл, полученный студентами на экзамене на основании имеющегося статистического ряда (табл. 9):

Таблица 9 Статистический ряд экзаменационных оценок

Экзаменационная оценка	2	3	4	5
Частота (число полученных оценок)	11	42	49	9

Среднее статистическое значение (а им и является в настоящей задаче средняя экзаменационная оценка) находим как среднее арифметическое. Для этого необходимо учесть количество повторений каждой оценки (обозначим их буквой Х):

m_Х*. =

Основываясь на этом примере, можно записать формулу вычисления среднего статистического значения:

m_Х* = , (19)

где n_i – частота повторения варианты х_i ;

N – общее число наблюдений:

р_i^* – статистическая вероятность (частость) для i-й варианты.

В том случае, если для СВ получен группированный статистический ряд для вычисления среднего статистического значения можно пользоваться формулой (19), учитывая, что в ней х_i – среднее значения СВ в разряде (его иногда обозначают как и называют «представителем разряда»), а k – число разрядов.

Согласно закону больших чисел при неограниченном увеличении числа опытов частости р_i^* сколь угодно мало будут отличаться от теоретических вероятностей р_i.

Математическое ожидание дискретной СВ вычисляется как сумма произведений всех n возможных значений х_i этой СВ на вероятности p_i этих значений:

. (20)

Пример 29.

Имеется ряд распределения случайной величины Х – оценок, полученных на экзамене (табл. 10). Найти математическое ожидание случайной величины Х.

Таблица 10. Ряд распределения оценок на экзамене

Оценка	2	3	4	5
Вероятность	0,1	0,5	0,3	0,1

Решение. По формуле (20) М[Х] = 2 · 0,1 + 3 · 0,5 + 4 · 0,3 + 5 · 0,1 = 3,4.

Формулу вычисления МО непрерывной СВ можно получить из формулы (20), заменив сумму интегралом, дискретное значение х_i - непрерывным значением х, вероятность р_i – элементом вероятности хf(х).

(21)

где f(x) - плотность распределения непрерывной случайной величины Х.

Связь между МО и средним статистическим значением выражает закон больших чисел: при неограниченном увеличении количества опытов среднее статистическое значение сколь угодно мало отличается от математического ожидания.

Этот вывод можно распространить и на другие параметры законов распределения: при неограниченном увеличении количества опытов любая статистическая характеристика сколь угодно мало отличается от соответствующего ей теоретического параметра закона распределения.

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание - неслучайная величина, так как является характеристикой истинных законов, существующих в природе.

2. МО может принимать положительное, отрицательное, нулевое значения.

3. Физическая аналогия МО – абсцисса центра масс системы материальных точек. Это важное свойство вытекает из формулы (20): если рассмотреть нагруженный стержень (рис. 50), в котором х_i - координаты приложения нагрузок, р_i - нагрузки в относительных единицах, то m_Х – абсцисса центра масс (точка приложения равнодействующей нагрузки).

По кривой распределения СВ или по гистограмме можно приближённо определить математическое ожидание (среднее статистическое значение), «на глазок» найдя точку, соответствующую центру тяжести плоской однородной фигуры, повторяющей по форме эту кривую или гистограмму.

4. МО имеет ту же размерность, что и случайная величина.

5. МО неслучайной величины С равно этой неслучайной величине: М[С] = С.

Доказательство (на примере дискретной СВ): Если использовать формулу (20) для одного значения СВ (у неслучайной величины есть только одно значение),которое она обязательно (с вероятностью равной единице) принимает, получим: М[С] = С · 1 = С.

5. Неслучайную величину можно выносить за знак МО: М[СХ] = С М[Х].

Доказательство (на примере дискретной СВ): Если использовать формулу (20), получим: М[СХ] = (Сх₁р₁ + Сх₂р₂ + Сх₃ р₃ +….+ Сх_n р_n) =

C(х₁р₁ + х₂р₂ + х₃ р₃ +….+ х_n р_n) = C М[Х].

Пример 30. .

5. МО суммы случайных величин равно сумме МО этих величин:

. (22)

Доказательство проведём на примере двух дискретных СВ – Х и Y. Эти две СВ образуют систему, ряд распределения которой можно представить в виде таблицы (табл.11). Случайная величина Х принимает одно из k возможных значений: х₁, х₂, х₃…х_i…х_k, а случайная величина Y - одно из l возможных значений: y₁, y₂, y₃… y_j …y_l . Вероятность р_ij – это вероятность того, что случайные величины одновременно примут два соответствующих значения: Х = х_i и Y = y_j .

Используя формулу (20), получаем:

М[Х + Y] = .

В первом из двух слагаемых x_i не зависит от числа j и его можно вынести за знак одной из сумм. Аналогично во втором слагаемом можно поступить с y_j:

М[Х + Y] = .

В последнем выражении = p_i1 + p_i2 + p_i3 + …+ p_il - вероятность того, что величина X принимает значение x_i, величина Y – значения y₁, y₂, y₃…y_i…y_l, т.е. величина X принимает значение x_i, а величина Y – любое из возможных для него значений. Поэтому эта сумма является вероятностью того, что величина X принимает значение x_i. Эту вероятность можно обозначить, как q_j.

Аналогично . Тогда

М[Х + Y] = = М[Х] + М[Y].

Таблица 11. Ряд распределения для системы двух дискретных СВ

Случайные величины	х1	х2	х3	….	хi	…..	хk
y1	р11	р21	р31	….	pi1	….	pk1
y2	р12	р22	р32	….	pi2	….	pk2
y3	р13	р23	р33	….	pi3	….	pk3
…..	…..	…..	…..	….	…..	….	…..
yj	p1j	p2j…..	p3j…..	….	pij…..	….	pkj…..
……	…..	…..	…..	….	…..	….	…..
yl	p1l	p2l	p3l	….	Pil	….	pkl

Для трёх СВ можно записать М[X + Y + Z] = М[(X + Y) + Z], т.е. представить сумму трёх слагаемых в виде суммы двух и т.д. Что в итоге позволяет обосновать выражение (22).

Пример 31. Найти M[3X – 5Y], если m_x = 3, m_y = 4.

M[3X – 5Y] = М[3Х] + М[-5Y] = 3М[Х] + (-5)М[Y] = 3 · 3 – 5 · 4 = -11.

5. МО произведения независимых СВ равно произведению их математических ожиданий: (23)

Доказательство как и в предыдущем случае проведём на примере двух дискретных СВ – Х и Y (табл. 11). Так как величины Х и Y независимы, то вероятность р_ij совместного появления значений х_i и y_j по формуле умножения независимых событий равна произведению вероятности р_i принятия случайной величиной Х значения х_i на вероятности q_j принятия случайной величиной Y значения y_j: р_ij = p_iq_j .

С учётом этого получаем:

М[ХY] = = = М[Х] М[Y].

По аналогии со свойством 7 свойство 8 может быть распространено на любое количество сомножителей.

Определение вероятности произведения зависимых СВ будет рассмотрено в дальнейшем – после знакомства с понятием корреляция.