2. Геометрическая формула определения вероятности события
Рассмотрим пример.
Пример 9
На линии электропередачи длиной 80 км произошел обрыв провода (рис. 15). Считая, что возможность обрыва в любом месте линии одинакова, определить вероятность того, что обрыв произошел на участке СВ длиной 20 км.
АВ = L = 80км, СВ = l = 20км.
Решение:
Количество возможных исходов опыта (мест обрыва) на участке СВ бесконечно велико, так как оно равно числу точек, которое можно поставить на этом участке. Также бесконечным является количество возможных мест обрыва на всей линии АВ. Поэтому классическую формулу вычисления вероятности использовать нельзя (её применение даёт в результате неопределенность). Несложно предположить, что если бы участок СВ составлял половину длины всей ЛЭП, то вероятность обрыва на этом участке составляла бы 0,5, причем независимо от того, где расположен этот участок (в начале ЛЭП, в её конце или в середине) и является ли он цельным или разрывным. Для участка, составляющего 25% длины ЛЭП, ответ равен 0,25 и т.д. Таким образом, вероятность Р(С) обрыва на участке СВ может быть найдена как отношение длины этого участка к длине всей линии:
Р(С) = l/L = 20/80 = 1/4 = 0,25.
В наиболее общем виде формула имеет вид:
Р(А) = mes d/mes D. (2)
Иначе говоря, геометрическая вероятность определяется как отношение меры mes d области d, благоприятствующей событию А, к мере mes D всей области D.
Понятие мера (mes) применяется в теории множеств и является обобщением понятий длина отрезка, площадь плоской фигуры и объём тела на множества более общей природы. Для задач, рассматриваемых в рамках настоящего курса, мерой области являются:
1) для линий – их длина: Р(А) = l/L;
2) для плоских фигур – площадь: Р(А) = s/S;
3) для тел – объем: Р(А) = v/V,
где малыми буквами обозначены меры областей, благоприятствующих рассматриваемому событию, а большими – меры всей области.
Пример 10
Произошел
перерыв электроснабжения цеха в течение
периода наблюдения, равного одним
суткам. Считая, что возможность отключения
электроэнергии в любое время суток
одинакова, определить вероятность того,
что момент отключения пришелся на одну
из рабочих смен общей длительностью 16
ч.
Решение: Условие задачи можно представить в виде линейной схемы (рис. 16), поэтому целесообразно воспользоваться геометрической формулой определения вероятности события. Обозначив искомую вероятность Р(А), получаем ответ:
Р(А) = l/L = ТР/Т = 16ч/24ч = 2/3.
Этот
пример показывает, что в геометрической
формуле понятие «длина» не следует
понимать буквально, в зависимости от
условий задачи «длина» может измеряться
не только в метрах, но и в других единицах.
Пример 11
По диаграмме Венна (рис. 17) определить вероятность события А.
Решение: По геометрической формуле вычисления вероятности Р(А) = s/S
Ввиду того, что основу диаграммы составляет «единичный» квадрат (стороны равны единице), S=1.
Следовательно, Р(А) = s, т.е. на диаграмме Венна вероятности событий численно равны площадям фигур, обозначающих эти события.
Геометрическая формула неприменима, если нарушается условие равновозможности появления события в любой части рассматриваемой области (линии, плоской фигуры, тела).
Примечание
Решение задач по определению вероятности события с использованием геометрических формул следует начинать с нахождения знаменателя(меры всей области), а затем выделять в этой области область, соответствующую искомому событию.