3. Определение вероятности хотя бы одного события

Для многих задач их решением является вероятность появления хотя бы одного из группы событий. Например, гирлянда лампочек не буде гореть, если неработоспособна хотя бы одна из них. Чтобы уехать в нужном направлении с остановки общественного транспорта достаточно, чтобы к остановке подошло хотя бы один из необходимых транспортных средств.

Рассмотрим, как найти такую вероятность.

Пусть даны события А₁, А₂, А₃,…, А_i….А_n. Вероятности их появления в опыте соответственно равны Р(А₁), Р(А₂), Р(А₃),…,Р(А_i)….Р(А_n).

Событие В означает, что произойдет хотя бы одно из событий А_i, т.е. или событие А₁, или событие А₂, или….., или любая пара, или любая тройка, или…, или все n событий: В = А₁ + А₂ + А₃ +…+ А_i +….+ А_n.

Вероятность события В является вероятностью суммы n совместных событий -Р(В)=Р(А₁ +А₂+ А₃ +…+ А_i+….+ А_n). Найти эту вероятность можно по формуле сложения вероятностей для совместных событий, но, как известно, эта формула громоздка и неудобна для применения.

Упростить решение можно, если пойти другим путём – перейти к поиску вероятности события - противоположного событию В:

Это событие будет заключаться в том, что не произойдёт ни одно из событий А_i, т.е. не произойдёт событие А₁, и не произойдёт событие А₂, и ……. и не произойдёт событие А_n: = _{1 2 3}…. _i… _n.

Вероятность события можно найти по формуле умножения:

Р( ) = Р( _{1 2 3}…. _i… _n) =. Р( ₁)Р( ₂)Р( ₃)….Р( _i)…Р( _n) = .

Тогда Р(В)=1 – = 1 - . (11)

В случае, если вероятности всех событий А_i одинаковы :

Р(А₁) = Р(А₂) = Р(А₃) =…= Р(А_i) =….= Р(А_n)= р,

вероятность появления хотя бы одного события Р(В) = 1 – (1 – р)ⁿ (12)

Пример 18

Для схемы рис. 24 определить вероятность отказа системы.

Эта задача была рассмотрена в примере № 16, где отмечалось, что предложенный вариант решения не является рациональным.

Данная схема представляет собой четыре последовательно соединенные элемента (генератор, два трансформатора и линию). Таким образом, система откажет, если откажет хотя бы один элемент и используя формулу (11) получаем простое решение: Q_с = 1 – Р_с = 1 – .(1 - q _г) (1 - q _т1) (1 - q _л)(1 - q _т2) ₌ 1 – р_гр_т1р_лр_т2.

При увеличении числа последовательно соединенных элементов в конечном выражении добавятся дополнительные сомножители по количеству добавленных элементов.

Обобщая вышеизложенную информацию, можно составить алгоритм решения задач по расчёту надежности (рис.27).

4. Формула полной вероятности

Знакомство с этой важнейшей формулой начнём с примера, которому можно дать название «Задача о неграмотном путнике»

Пример 19

Некий путник вышел из населённого пункта В с целью попасть в населённый пункт А (рис. 28). Из пункта В выходят три дороги, ведущие в пункты Н₁, Н_2, и Н₃. Путник неграмотный, не может прочитать указатели и выбирает дорогу произвольно. На выходе из пункта Н₁ имеется опять три дороги, из которых только одна ведёт в пункт А. На выходе из пункта Н₁ имеется опять три дороги, из которых только одна ведёт в пункт А. На выходе из пункта Н₂ имеется две дороги, из которых вновь только одна ведёт в пункт А. На выходе из пункта Н₃ имеется только одна дорога, которая ведёт в пункт А. Найти вероятность того, что путник придет в пункт А.

Решение. Путник может попасть в пункт А тремя способами:

- или выбрав дорогу на Н₁, а затем в Н₁ нужную дорогу, ведущую в пункт А;

- или выбрав дорогу на Н₂, а затем в Н₂ нужную дорогу, ведущую в пункт А;

- или выбрав дорогу на Н₃.

Так как в этой фразе присутствует союз ИЛИ, речь идёт о сумме событий и может быть использована формула сложения вероятностей несовместных событий.

В свою очередь для осуществления 1-го варианта необходимо осуществление двух условий: путник выбирает 1-ю дорогу И затем в пункте Н₁ – нужную ему, ведущую в А. Вероятность этого события может быть найдена по формуле умножения зависимых событий.

Аналогично может быть найдена вероятность осуществления 2-го и 3-го вариантов. В итоге вероятность что, что путник придёт в пункт А будет найдена по формуле:

Принимая во внимание решение этого примера, получим в общем виде формулу, которую принято называть формулой полной вероятности .

Пусть некоторое событие А может произойти только лишь совместно с одним из k событий Н_i, составляющих полную группу и называемых гипотезами. Вероятность i-й гипотезы – Р(Н _i). Тогда Р(А/Н _i) – условная вероятность события А при i-й гипотезе.

Р(А)= Р(Н _i) Р(А/Н _i). (13)

Вероятность события есть сумма произведений вероятностей каждой из гипотез на условные вероятности этого события при данных гипотезах.

Так как гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей всегда равна единице.

Результатом расчёта по формуле полной вероятности всегда является средневзвешенное значение условной вероятности события, т.е. ответ всегда будет лежать в промежутке между максимальным и минимальным значениями условной вероятности.

Пример 20

Кабельная линия электропередачи 80% времени использования работает с номинальной нагрузкой, при которой вероятность её отказа q₁ = 0,05. Остальное время линия перегружена, при этом вероятность отказа возрастает до q₂ = 0,4. Определить вероятность отказа ЛЭП за весь период эксплуатации.

Гипотеза Н₁ – линия работает с номинальной нагрузкой: Р(Н₁) = 80/100 = 0,8.

Гипотеза Н₂ – линия перегружена: Р(Н₂) = (100-80)/100 = 0,2.

Событие А – линия отказала.

Условные вероятности события А при событиях Н₁ и Н₂:

Р(А/Н₁) = q₁ = 0,05; Р(А/Н₂) = q₂ =0,4.

Вероятность отказа линии найдем по формуле полной вероятности:

Р(А) = Р(Н₁)Р(А/Н₁) + Р(Н₂)Р(А/Н₂) = 0,8 ∙ 0,05 + 0,2 ∙ 0,4 = 0,12.