Вероятность события. Формулы непосредственного расчета вероятности

Термином «вероятно» достаточно часто пользуются в обыденной жизни: «вероятно, будет дождь», «вероятно, я сдам экзамен успешно». Говоря так, мы интуитивно вкладываем в этот термин разную степень нашей уверенности в возможности появления события. Но, конечно, не о каких численных оценках этой возможности речь не идёт.

Математиками такая количественная оценка предложена.

Вероятность события – это количественная мера возможности появления события в опыте.

Ввиду того, что вероятность является искусственно придуманной характеристикой, было целесообразным сделать её удобной к применению, позволяющей без труда оценивать степень приближения события к достоверному или невозможному. Такой, удобной для анализа, характеристика будет в случае, когда меняется в пределах от нуля до единицы.

Принято, что невозможные события имеют вероятность, равную нулю, а достоверные – единице, вероятность между нулём и единицей имеют случайные события.

Чаще всего для обозначение вероятности используется латинская буква Р (по-французски вероятность – probabilite´). Обозначается вероятность события А, как Р(А) или р_а.

1. Классическая формула определения вероятности события

Вероятность некоторого события А может быть найдена, как отношение количества исходов, благоприятствующих событию А к общему количеству исходов опыта, удовлетворяющих схеме случаев.

Р(А) = m/n, (1)

где n – общее количество исходов опыта, удовлетворяющих схеме случаев;

m – количество исходов, благоприятствующих событию А.

Схема случаев подразумевает три обязательных условия применения классической формулы:

1) исходы опыта должны быть несовместными;

2) исходы опыта должны образовывать полную группу;

3) исходы опыта должны быть равновозможными.

Пример 7

Определить вероятность того, что будет произведен выстрел при игре в русскую рулетку. Для ещё не игравших в эту азартную (но не виртуальную) игру сообщим правила. В восьми зарядный револьвер вставляется один патрон. Барабан раскручивается случайным образом, и игроки по очереди нажимают на курок, приставив дуло к своему виску.

Решение. Вероятность того, что револьвер выстрелит с первой попытки Р(А)=1/8, так как всего возможно восемь исходов (восемь положений барабана), все восемь исходов равновозможны и несовместны.

Пример 8

Монета подбрасывается два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз монета упадет гербом вверх.

Этот пример часто называют «примером с ошибкой Д’Аламбера», так как при его решении известный французский математик и философ (1717 – 1783) допускал важную методологическую ошибку.

Д’Аламбер считал, что возможны три несовместных исхода, образующих полную группу:

• монета дважды упала цифрой вверх;

• монета дважды упала гербом вверх;

• по одному разу наблюдались герб и цифра.

Из этих исходов поставленному вопросу благоприятствуют последние два исхода. В результате искомая вероятность «по Д’Аламберу» равна 2/3. Однако это решение ошибочно.

Причина ошибки заключается в том, что перечисленные выше исходы не являются равновозможными. Первые два исхода можно получить единственным способом: обязательно цифра при первом подбрасывании и обязательно цифра при втором подбрасывании (для первого исхода), обязательно герб при первом подбрасывании и обязательно герб при втором подбрасывании (для второго исхода). Третий исход Д’Аламбера можно получить двумя путями: сначала цифра – потом герб или сначала герб – потом цифра, т.е. он будет наблюдаться в два раза чаще, чем любой из предыдущих исходов.

Решение. Равновозможных исходов, соответствующих «схеме случаев», необходимо рассматривать четыре: ЦЦ, ГГ, ГЦ, ЦГ (здесь использованы следующие обозначения: «Г» - монета упала гербом вверх, «Ц» - монета упала вверх цифрой).

Интересующему событию (монета хотя бы один раз упала гербом вверх) благоприятствуют три последних исхода. Таким образом, искомая вероятность равна 3/4.

Классическую формулу определения вероятности нельзя применять, если:

1) не выполняется схема случаев;

2) числитель и знаменатель дроби стремятся к бесконечности.