Моменты св как характеристики различных свойств этих величин

Почти все числовые характеристики случайных величин (кроме моды и медианы) можно объединить общим понятием – моменты случайных величин.

Моменты СВ делятся на две группы: начальные и центральные.

Начальным моментом k-го .порядка случайной величины Х - α_k[Х] называется математическое ожидание k-й степени этой СВ: α_k[Х] = М[Х^k]

Для дискретных СВ α_k[Х] = . (24)

Для непрерывных СВ α_k[Х] = . (25)

Таким образом, математическое ожидание является первым начальным моментом случайной величины Х : М[Х] = α₁[Х].

Из других начальных моментов широкое применение находит 2-й начальный момент α₂[Х] = М[Х²] = . (26)

Для непрерывных СВ 2-й начальный момент можно вычислить по формуле (25), в которой k = 2.

Статистический 2-й начальный момент может быть рассчитан по формуле аналогичной формуле (26), в которой значения х_i заменяются вариантами (для группированного ряда – представителями разрядов _), а вероятности p_i – частостями р_i^*:

α₂^*[Х] = М*[Х²] =. (27)

Центральным моментом k-го .порядка случайной величины Х - μ_k[Х] называется математическое ожидание k-й степени центрированной величины Х:

μ_k[Х] = М[ ]. (28)

Центрированием называется операция нахождения разности между значениями СВ и МО этой величины: = Х – m_Х.

Для дискретной СВ: . (29)

Для непрерывной СВ: . (30)

Для любой СВ первый центральный момент всегда равен нулю: . Это не сложно пояснить: μ₁[Х] = М[ ] = М[ х – m_Х] = М[х] + М[-m_Х] = m_Х - m_Х = 0.

Этот результат можно пояснить и иным образом: первый центральный момент – это ничто иное, как среднее отклонение значений СВ от МО (от центра распределения). Но на то он и центр распределения, что отклонения от него в большую и меньшую сторону взаимно уравновешиваются, а их среднее значение в итоге сбалансируются и с учётом знака отклонений в итоге получится равным нулю.

Важнейшее значение имеет 2-й центральный момент, который называют дисперсией СВ.

Дисперсия случайной величины - характеристика разброса (рассеивания) значений случайной величины около центра распределения

Характеристик положения СВ недостаточно, для того, чтобы исчерпывающим образом судить об этой величине. Например, средняя заработная плата в России приближается к 15 тысячам рублей в месяц, но это не значит, что все жители живут хорошо. Стрелок может совершить несколько попаданий с большими отклонениями в разные стороны от центра мишени, что в итоге может дать среднюю координату попаданий близкую к центру мишени, что не свидетельствует о высоком мастерстве стрелка.

Наряду со средним значением СВ для суждения о распределении надо обязательно знать характеристику разброса (рассеивания) значений СВ около среднего. Среднее отклонение от центра распределения (первый центральный момент) такой характеристикой служить не может, так как из-за разных знаков отклонений всегда при усреднении даёт результат равный нулю. Необходимо каким-то образом «отстроиться» от знаков отклонений при их усреднении. Это можно сделать, определяя средние по модулю отклонения или возводя эти отклонения в квадрат. Именно последний способ и получил распространение.

Характеристика рассеивания - дисперсия – это второй центральный момент:

. (31)

Для дискретной случайной величины: . (32)

Для непрерывной случайной величины: . (33)