2.3 Физические основы термодинамики
Основные законы и формулы
1. Первое начало термодинамики:
а) в общем случае
,
т.е. теплота Q,
сообщенная газу, идет на изменение
его внутренней энергии и на работу А,
совершаемую газом против внешних сил;
б) при изохорическом процессе ( )
,
следовательно,
,
т.е. теплота, сообщенная газу, полностью идет на изменение его внутренней энергии.
С другой стороны
;
в) при изобарическом процессе ( )
,
поэтому
или
;
г) при изотермическом процессе ( )
,
следовательно,
,
т.е. теплота, сообщенная газу, полностью идет на совершение газом работы против внешних сил;
д) при адиабатическом процессе (Q=0)
,
т.е. работа совершается газом за счет изменения его внутренней энергии
,
или
.
2. Уравнения
Пуассона. При адиабатическом процессе
давление газа и его объем связаны
соотношением
.
Начальное и конечное значения давления, объема и температуры связаны соотношениями:
,
,
.
3. Термический к.п.д. характеризует степень использования теплоты при превращении ее в работу или, другими словами, совершенство цикла, по которому работает тепловой двигатель:
,
где Q1 – теплота, полученная рабочим веществом (газом) от нагревателя, Q2 – теплота, переданная рабочим веществом (газом) холодильнику.
4. Термический к.п.д. обратимого цикла Карно:
,
где Т1 – абсолютная температура нагревателя, Т2 – абсолютная температура холодильника.
2.4 Свойства жидкостей
Основные законы и формулы
1. Коэффициент поверхностного натяжения:
,
(1)
где F – сила поверхностного натяжения, действующая на контур l, ограничивающий поверхность жидкости, или
,
(2)
где
– изменение свободной энергии
поверхностного слоя жидкости, связанное
с изменением
поверхности этого слоя.
Формула (1) показывает, что коэффициент поверхностного натяжения есть величина, численно равная силе, действующей на единицу длины границы раздела поверхности жидкости.
Из формулы (2) следует, что коэффициент поверхностного натяжения есть величина, численно равная изменению свободной энергии слоя жидкости при изменении площади ее на единицу.
2. Формула Лапласа, выражающая давление р, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости:
а) в общем случае
,
где R1 и R2 – радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости;
б) в случае сферической поверхности
.
3. Высота подъема жидкости в капиллярной трубке
,
где θ
– краевой угол; при
полном смачивании стенки трубки жидкостью
θ=0, при
полном несмачивании стенки трубки
жидкостью θ=
,
R
– радиус канала трубки,
–
плотность жидкости, g
– ускорение свободного падения.
4. Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллельными друг другу плоскостями:
,
где d – расстояние между плоскостями.
Примеры решения задач
Пример 1.
Определить плотность смеси газов из
моль
азота и
моль
кислорода, которая содержится в баллоне
при температуре t=170С
и давлении
МПа.
Решение. Согласно определению плотности имеем
,
(1)
где m1 и m2 – массы азота и кислорода соответственно; V – объем баллона.
Выразим массу каждого газа через количество вещества и молярную массу:
,
(2)
Для определения объема газа в баллоне воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона для смеси газов:
,
где R – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура. Тогда
.
(3)
Подставив выражения (2) и (3) в (1), получим
.
(4)
Вычислим искомую плотность:
кг/м3=31,8
кг/м3.
Пример 2. Определить: 1) число атомов, содержащихся в 1 кг гелия; 2) массу одного атома гелия.
Решение. 1. Число молекул в данной массе газа:
,
(1)
где m
– масса газа; М
– молярная масса;
– количество вещества,
–
постоянная Авогадро.
Поскольку молекулы гелия одноатомны, число атомов в данной массе газа равно числу молекул.
Запишем величины,
входящие в формулу (1), в СИ:
кг/моль,
моль-1.
Найдем искомое число атомов:
.
2. Для определения массы одного атома массу газа разделим на число атомов в нем:
.
(2)
Подставив числовые значения величин в (2), получим:
кг
кг.
Пример 3.
Считая водяной пар массой
г
при температуре
С
идеальным газом, определить: 1) внутреннюю
энергию пара; 2) среднюю энергию
вращательного движения одной молекулы
этого пара.
Решение. 1. Внутренняя энергия идеального газа есть полная кинетическая энергия всех молекул газа; она выражается формулой:
,
(1)
где
– число степеней свободы молекулы газа;
М
– молярная масса; R
– молярная газовая постоянная; Т
– термодинамическая температура.
Вычислим искомую внутреннюю энергию:
2. Известно, что на каждую степень свободы молекулы газа приходится в среднем энергия
,
где k – постоянная Больцмана.
Вращательному движению каждой молекулы приписывается некоторое число степеней свободы iвр. Это относится ко всем молекулам, кроме одноатомных, для которых энергия вращательного движения равна нулю, как для материальных точек, размещенных на оси вращения.
Таким образом, энергия вращательного движения молекулы равна:
.
Выпишем числовые
значения величин в единицах СИ:
Дж/К;
,
так как вращательному движению трехатомной
молекулы соответствуют три степени
свободы.
Выполнив подстановку и вычисления, получим:
Пример 4.
Кислород массой
г
изобарно расширяется под давлением
Па
от начальной температуры
С,
поглощая в процессе расширения теплоту
кДж.
Определить: 1) работу расширения газа;
2) конечный объем газа.
Решение. 1. Работа, совершаемая газом при постоянном давлении, выражается формулой
.
(1)
Из уравнения
Менделеева-Клапейрона, записанного для
начального и конечного состояний газа
(
,
),
выразим неизвестные начальный V1
и конечный V2
объемы:
;
(2)
.
(3)
Подставив (2) и (3) в (1), получим:
,
(4)
где М – молярная масса кислорода; R – молярная газовая постоянная; Т1 и Т2 – начальная и конечная температуры газа.
Из формулы для теплоты при изобарном процессе
,
где ср – удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, выразим неизвестную разность температур:
.
(5)
Известно, что
,
(6)
где i – число степеней свободы молекулы газа. Подставив (6) в (5), а результат затем в (4), получим:
.
(7)
По формуле (7) вычислим А:
2. Для определения конечного объема V2 воспользуемся формулой (1), преобразовав которую получим:
(8)
Неизвестную величину V1 можем определить из уравнения Менделеева-Клапейрона для начального состояния газа.
Подставив в (8) правую часть уравнения (2), получим:
Вычислим искомый конечный объем:
Пример 5.
Определить: 1) среднюю длину свободного
пробега l
и 2) среднюю частоту столкновений z
молекул воздуха при температуре t=0
0C
и давлении 1,01 Па. Принять эффективный
диаметр молекулы воздуха равным
см.
Решение. 1. Средняя длина свободного пробега молекулы выражается формулой:
,
(1)
где n – концентрация молекул (отношение числа молекул к объему газа, в котором они заключены). Для определения неизвестной концентрации молекул воспользуемся основным уравнением молекулярно-кинетической теории:
,
(2)
здесь р – давление газа, wпост – средняя энергия поступательного движения молекулы газа, равная
,
(3)
где k – постоянная Больцмана, Т – термодинамическая температура газа.
Подставив (3) в (2), выразим из полученной формулы концентрацию молекул:
,
(4)
Подставив (4) в (1), получим
.
Вычислим искомую длину свободного пробега молекул:
2. Средняя частота столкновений молекул газа связана с длиной свободного пробега соотношением:
,
(5)
где – средняя арифметическая скорость молекул. Ее можно определить по формуле:
,
(6)
где R – молярная газовая постоянная; М – молярная масса воздуха.
Подставив (6) в (5), после преобразования получим
.
(7)
Вычислим искомую частоту столкновений:
.
Пример 6.
Определить среднюю квадратичную скорость
молекул идеального газа при давлении
Па,
если плотность газа
кг/м3.
Решение. Средняя квадратичная скорость молекул идеального газа выражается формулой:
,
(1)
где R – молярная газовая постоянная; Т – термодинамическая температура газа; М – молярная масса.
Для определения неизвестных величин Т и М воспользуемся уравнением Менделеева-Клапейрона:
,
откуда
.
(2)
Подставив
из
(2) в (1), получим:
.
(3)
Вычислим искомую скорость молекул:
=
389 м/с.
Пример 7.
Определить, при каком градиенте плотности
углекислого газа через каждый квадратный
метр поверхности почвы продиффундирует
в атмосферу в течение 1 ч масса газа
мг,
если коэффициент диффузии
см2/с.
Решение. Масса газа, переносимая в результате диффузии, определяется законом Фика:
,
(1)
где D
– коэффициент диффузии;
– градиент плотности, т.е. изменение
плотности, приходящееся на 1 м толщины
слоя почвы;
S
– площадь поверхности слоя; t
– длительность диффузии.
Из (1) выразим искомый градиент плотности:
.
(2)
Вычислим градиент плотности:
кг/м4=
–0,05кг/м4.
Отрицательное значение градиента плотности соответствует сущности процесса диффузии: зависимость плотности от расстояния в направлении движения диффундирующей массы выражается убывающей функцией, градиент которой - отрицательная величина.
Пример 8.
Определить количество теплоты, теряемое
через бетонные стены здания площадью
м2
за время
мин,
если в помещении температура стены
С,
а снаружи
С.
Толщина стен
см.
Решение. Количество теплоты, передаваемое за счет теплопроводности стен, выражается законом Фурье:
,
(1)
где
–
теплопроводность материала стены;
– градиент температуры, т. е. изменение
температуры, приходящееся на 1 м толщины
стены; S
– площадь поверхности стены; t
– время передачи теплоты.
Подставим числовые значения величин в формулу (1) и вычислим:
Пример 9.
Воздух, взятый при температуре
С,
был адиабатно сжат так, что его объем
уменьшился в три раза. Определить
температуру воздуха после сжатия.
Решение. Зависимость между температурой и объемом при адиабатном сжатии выражается уравнением Пуассона:
,
(1)
где
,
– соответственно термодинамическая
температура и объем до сжатия воздуха;
,
– те же величины после сжатия воздуха;
– отношение теплоемкости газа при
постоянном давлении к теплоемкости
газа при постоянном объеме.
Из теории теплоемкостей газов известно, что
,
где i – число степеней свободы молекулы газа.
Так как воздух –
газ двухатомный, то
и,
следовательно,
.
Из формулы (1) получим:
.
(2)
Подставим числовые
значения
К,
,
в (2):
.
Прологарифмируем обе части полученного равенства:
.
По значению lg Т2, пользуясь справочной таблицей, найдем
К,
или
Пример 10.
Нагреватель тепловой машины, работающей
по циклу Карно, имеет температуру
С.
Определить температуру холодильника,
если ¾ теплоты, полученной от нагревателя,
газ отдает холодильнику.
Решение. Термический КПД тепловой машины, работающей по циклу Карно, выражается формулой
,
(1)
или, как и для любого цикла,
,
(2)
где
и
–
соответственно термодинамические
температуры нагревателя и холодильника;
–
теплота, полученная газом от нагревателя;
–
теплота, отданная газом холодильнику.
Приравняв правые части формулы (1) и (2), получим:
.
(3)
После преобразований
уравнение (3) примет вид
,
откуда
.
(4)
Подставив числовые
значения
,
в
(4) и вычислим:
,
или
С.