1.5 Работа, энергия, мощность

Основные законы и формулы

1.Работа постоянной силы F

,

где S – модуль перемещения; - угол между векторами силы F и перемещения S.

Если на тело действуют несколько сил, каждая из которых совершает над ним работу, то вся произведенная работа равна алгебраической сумме работ отдельных сил:

.

2.Мощность, развиваемая постоянной силой F, определяется формулой:

или ,

где А – работа, совершенная за время t; – скорость движения.

3.Кинетическая энергия тела массой m, движущегося со скоростью :

Формулы для потенциальной энергии имеют различный вид в зависимости от характера действующих сил.

4.Потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h относительно земли,

.

5.Потенциальная энергия упруго деформированного тела

,

где – коэффициент упругости; х – величина деформации.

6.Полная механическая энергия системы тел равна арифметической сумме кинетических и потенциальных энергий всех тел, входящих в данную систему:

7.Работа постоянного момента силы, действующего на вращающееся тело:

где – угол поворота тела.

8.Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела,

.

9.Кинетическая энергия вращающегося тела:

.

10.Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения:

,

где – кинетическая энергия поступательного движения тела; – скорость центра инерции тела, – кинетическая энергия вращательного движения тел вокруг оси, проходящей через центр инерции.

11.Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение его кинетической энергии связаны соотношением:

.

Примеры решения задач

Пример 1. Какую работу совершает электровоз за t=10 мин, перемещая по горизонтальному пути состав массой кг с постоянной скоростью если коэффициент трения ?

Решение. В данном случае работа совершается силой тяги F электровоза. Кроме этой силы, на состав действует также сила трения F_тр, направленная противоположно силе тяги. Направление действия силы F и перемещения s совпадают, т.е. , поэтому работа .

Силу F можно определить из второго закона Ньютона:

F+F_тр=ma; F-F_тр=0;

так как и а=0. Тогда F=F_тр= .

Величину перемещения s находим по формуле для определения пути равномерного прямолинейного движения: .

Работа Дж.

Пример 2. Деревянный кубик со стороной а=10 см плавает в воде так, что его центр находится на h=4 см выше поверхности воды. Какую работу надо совершить, чтобы погрузить кубик в воду наполовину?

Решение. Кубик плавает в равновесии, если его сила тяжести уравновешивается силой Архимеда, т.е.

или ,

где – плотность воды; V₀ – объем части кубика, погруженной в воду.

Если погрузить кубик в воду на глубину х, то сила Архимеда превысит силу тяжести кубика и результирующая сила, выталкивающая кубик из воды, будет равна

,

где ; V₁ – объем погруженной части кубика.

Против силы F_х и должна быть совершена работа. Выразим величину этой силы через расстояние х:

,

где ; ; ; см.

Таким образом,

; ,

тогда . Сила F_x пропорциональна перемещению х. Значит, работу А можно определить так: . Среднее значение силы

,

следовательно,

Дж.

Пример 3. Поезд, отходя от станции, за t=5 мин развивает скорость км/ч. Масса поезда кг, коэффициент трения . Определить среднюю мощность локомотива за время равноускоренного движения.

Решение. Среднюю мощность, развиваемую силой тяги локомотива, можно определить по формуле .

Силу тяги определяем из второго закона Ньютона. На поезд действует сила тяги F_Т и сила трения F_тр:

F_т+F_тр=ma или F_т – F_тр=ma.

Так как F_тр , то F_т .

Средняя скорость поезда определяется как

.

Ускорение , следовательно, можем определить N_ср:

Вт.

Пример 4. Самолет массой кг для взлета должен иметь скорость км/ч и длину разбега s=600 м. Какова должна быть минимальная мощность мотора, необходимая для взлета самолета? Силу сопротивления движению F_с считать пропорциональной силе нормального давления, средний коэффициент сопротивления принять равным 0,2. При разгоне самолет движется равноускоренно.

Решение. Минимальной мощностью, при которой самолет может набрать скорость, необходимую для отрыва от земли, будет мгновенная мощность мотора в момент взлета самолета:

,

где F_т – сила тяги мотора; – скорость, которую должен иметь самолет для взлета.

Согласно второму закону Ньютона, F_т–F_с=ma или , откуда сила тяги мотора .

Поскольку известны длина s разбега самолета и скорость его при отрыве, ускорение а можно найти по формуле:

,

тогда

МВт.

Пример 5. Спутник вращается вокруг Земли по круговой орбите радиусом r. В какой пропорции сообщенная ему при запуске энергия поделилась между потенциальной и кинетической энергиями?

Решение. Считая, что спутник движется по круговой орбите, его кинетическую энергию можно определить по формуле

,

где m – масса спутника; – его скорость; R – радиус Земли.

Если выбрать начало отсчета потенциальной энергии на бесконечности, то на поверхности Земли , а на орбите .

Следовательно, при выводе спутника на орбиту ему была сообщена потенциальная энергия

.

Искомое отношение энергий выразится следующим образом:

.

Пример 6. Подъемный кран за время ч поднимает строительные материалы массой т на высоту м. Определить мощность двигателя подъемного крана, если его коэффициент полезного действия .

Решение. Подъемный кран, поднимая груз на высоту h, увеличивает его потенциальную энергию. Работа А, совершаемая двигателем подъемного крана, идет на подъем груза и на работу против сил трения в механизмах.

Полезная работа А_п двигателя равна увеличению потенциальной энергии груза:

,

где g – ускорение свободного падения.

Коэффициент полезного действия равен отношению полезной мощности N_П ко всей потребляемой мощности N:

. (1)

Учитывая, что , запишем выражение (1) в виде

.

Мощность двигателя равна

. (2)

Вычислим искомую мощность двигателя:

Вт кВт.

Пример 7. Диск, катившийся со скоростью м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью м/с. Масса диска равна кг. Определить уменьшение кинетической энергии диска.

Решение. Кинетическая энергия диска равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений:

. (1)

Здесь ; , где m – масса диска; – скорость поступательного движения; –момент инерции диска; – угловая скорость диска; R – радиус диска.

Подставив в (1) выражения для Е_пост, Е_вр, J и , получим

. (2)

Выражение (2) можно использовать для записи полной кинетической энергии Е₁ до удара о стену и полной кинетической энергии Е₂ после удара:

, .

Разность кинетических энергий

.

Подставив данные задачи, вычислим искомую разность энергий:

= –11,25 Дж.

Знак минус показывает, что произошло уменьшение кинетической энергии диска.

П ример 8. Пуля массой 10 г, летящая горизонтально, попадает в шар массой 3 кг, подвешенный на нити, и пробивает его по диаметру, при этом шар поднимается на высоту 10 см. Определить скорость пули в момент столкновения с шаром, если ее скорость в момент вылета из него 400 м/с.

Решение. Рассмотрим систему «шар-Земля» после того, как пуля вылетела из шара (рис.11). Если пренебречь сопротивлением воздуха, то эту систему можно считать замкнутой, т.е. Е₁=Е₂. Нулевой уровень потенциальной энергии выбираем на горизонтали, проходящей через центр шара в момент выле- Рис. 11

та пули.

, , где – скорость, приобретенная шаром в результате взаимодействия с пулей, m – его масса. Следовательно, .

Для определения начальной скорости пули рассмотрим систему «пуля-шар». Эта система не замкнута, так как на пулю во время полета действует сила тяжести, направленная вертикально вниз. Поэтому закон сохранения импульса выполняется только для горизонтального направления, т.е. , откуда .

Подставив значение , получим окончательно: м/с.