3. Электричество
3.1 Электростатика
Основные законы и формулы
1. Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами выражается законом Кулона:
,
где q1q2
– величина
точечных зарядов, заряд измеряется в
Кулонах (Кл);
–
расстояние между точечными зарядами;
– электрическая постоянная;
,
– диэлектрическая проницаемость среды.
2. Закон сохранения электрического заряда для изолированной системы:
q1+q2+…..+qn=const.
3. Сила, действующая на заряд q со стороны электрического поля:
F=qE,
где Е – напряженность электрического поля.
4. Напряженность электрического поля:
,
где F
– сила, действующая на пробный заряд
,
помещенный в данную точку электрического
поля. Напряженность электрического
поля
измеряется в ньютонах на кулон (Н/Кл),
или в вольтах на метр (В/м).
5. Напряженность поля точечного заряда:
,
где – расстояние от точечного заряда q до точки, в которой определяется напряженность электрического поля.
6. Напряженность поля, создаваемая несколькими точечными зарядами, определяется принципом суперпозиций полей:
Е=Е1+Е2+Е3+…..Еn
7. Потенциал электрического поля:
,
где А – работа по перемещению пробного заряда q0 из данной точки поля в бесконечность, – измеряется в вольтах (В).
8. Потенциал поля точечного заряда:
,
где q – точечный заряд; r – расстояние от точечного заряда.
Потенциал поля, создаваемый несколькими точечными зарядами, определяется по формуле:
9. В однородном электрическом поле напряженность связана с разностью потенциалов уравнением:
,
где d
– расстояние
между точками с разностью потенциалов:
.
10. Энергия электростатического поля:
,
где V – объем поля.
11. Электроемкость уединенного проводника:
,
где q – заряд проводника; – потенциал проводника. С измеряется в фарадах (Ф).
12. Электроемкость плоского конденсатора:
,
где S – площадь одной пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами (обкладками).
13. Электроемкость проводящего шара радиуса r, находящегося в среде с относительной диэлектрической проницаемостью :
.
14. Электроемкость батареи последовательно соединенных конденсаторов:
.
15. Электроемкость батареи параллельно соединенных конденсаторов:
.
16. Энергия уединенного заряженного проводника:
.
17. Энергия заряженного конденсатора:
.
Примеры решения задач
П
ример
1. На
непроводящей нити в воздухе подвешен
шарик массой
мг,
несущий положительный заряд Q.
Если снизу на расстоянии
см поместить такой же шарик, натяжение
нити исчезнет. Определить заряд шарика.
Решение. При размещении снизу шарика такой же массы и с таким же зарядом, как у подвешенного (рис. 23), сила кулоновского отталкивания шариков уравновешивает силу тяжести шарика. Так как шарик находится в равновесии, то выполняется условие: Рис. 23
Fк=P. (1)
Выразим в соответствии с законом Кулона силу Fк:
,
(2)
где
– электрическая постоянная;
–
диэлектрическая проницаемость воздуха.
Подставив (2) в (1) и выразив силу тяжести Р через массу шарика m и ускорение свободного падения g, получим:
,
тогда
.
(3)
Вычислим искомый заряд:
Пример 2.
Два положительных заряда
нКл и
нКл
находятся на расстоянии
см
друг от друга. Определить положение
точки, в которую нужно поместить заряд
,
чтобы он находился в равновесии. Каков
должен быть знак заряда
,
чтобы равновесие было устойчивым?
Решение.
Рассмотрим вопрос об устойчивости
равновесия заряда
.
Если заряд
будет находиться на линии, соединяющей
заряды
и
,
то, каков бы ни был знак заряда
,
силы его взаимодействия с зарядами
и
будут направлены по одной прямой в
противоположные стороны. Следо- Рис.24
вательно, существует точка на прямой АВ (рис. 24), в которой силы, действующие противоположно на заряд , будут уравновешены.
Такая точка находится на расстоянии х от заряда до заряда . При отклонении заряда от этой точки вправо или влево возникающее неравенство сил со стороны зарядов и будет неизменно возвращать заряд в положение равновесия.
Рассмотрим случай отклонения заряда перпендикулярно линии АВ. В том случае, если заряд положительный, при отклонении его вверх или вниз от положения равновесия силы отталкивания его зарядами и создадут равнодействующую, отбрасывающую заряд от линии АВ, на которой находится точка равновесия. Следовательно, при >0 положение равновесия не будет устойчивым. Если заряд отрицательный, то при его отклонении вверх и вниз от положения равновесия силы притяжения его зарядами и создают равнодействующие, возвращающие заряд на линию АВ. В этом случае равновесие заряда устойчиво.
Так как заряд
находится
в равновесии, то
и
– силы притяжения его соответственно
зарядами
и
– равны между собой:
.
Выразив
и
по закону Кулона, получим
,
или
.
Извлекая из обеих частей равентства
квадратный корень, находим:
,
откуда
.
Вычислим искомое расстояние:
см.
П
ример
3. Два заряда
нКл
и
нКл
расположены в вершинах равностороннего
треугольника со стороной
см.
Определить напряженность и потенциал
электрического поля в третьей вершине
треугольника.
Решение. 1. Напряженность электрического поля в точке А (рис. 25) Рис. 25
является геометрической (т.е. векторной) суммой напряженностей Е1 и Е2 полей, создаваемых зарядами и соответственно:
E=E1+E2.
Модуль результирующей напряженности может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах Е1 и Е2:
.
(1)
Модуль напряженности электрического поля точечного заряда выражается формулой:
,
(2)
где Q – величина заряда, создающего поле; – электрическая постоянная; – диэлектрическая проницаемость среды; r – расстояние от данной точки поля до заряда, его создающего.
Так как
,
то имеем
,
.
(3)
Поскольку
,
проведем
следующие преобразования:
,
.
(4)
Подставив (3) и (4) в (1), получим:
.
(5)
Подставим в формулу (5) числовые данные и вычислим
В
расчетную формулу (5) подставлены модули
зарядов, поскольку их знаки были учтены
при выводе этой формулы.
2. Потенциал
электрического поля в точке А
равен
алгебраической сумме потенциалов
и
полей, создаваемых зарядами
и
соответственно:
.
(6)
Потенциал поля точечного заряда выражается формулой:
.
(7)
В формуле (7) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (7) в (6) и учитывая, что , получим:
.
(8)
Подставим числовые значения величин в (8) и вычислим:
Пример 4.
Электрон, начальная скорость которого
Мм/с,
влетел в однородное электрическое поле
перпендикулярно линиям напряженности
и пролетел его за время
нс.
Определить работу сил поля, скорость
покидающего поле электрона и отношение
работы сил поля к приращению кинетической
энергии электрона. Напряженность поля
кВ/м.
Решение. На электрон, находящийся в электрическом поле, действует сила
F=eE,
(1)
где е – заряд электрона.
Направление этой силы противоположно направлению вектора напряженности поля, т.е. перпендикулярно вектору скорости электрона. Работа этой силы выражается формулой
Рис.
26
,
(2)
где
– разность потенциалов между начальной
и конечной точками траектории электрона
в поле.
В однородном электрическом поле, где эквипотенциальные поверхности являются плоскостями, перпендикулярными линиям напряженности поля, разность потенциала выражается формулой
,
(3)
где l – расстояние между эквипотенциальными поверхностями и (рис. 26).
Движение электрона в электрическом поле по условию задачи является сложным движением, состоящим из двух взаимно перпендикулярных простых движений: равномерного со скоростью и равноускоренного в направлении действия силы F. Равноускоренное движение началось в момент попадания электрона в электрическое поле. Скорость равноускоренного движения из состояния покоя (движение, параллельное линиям напряженности электрического поля) выражается формулой:
,
(4)
где а – ускорение, определяемое, в свою очередь, по второму закону Ньютона:
,
(5)
где
– масса электрона.
Величина l – расстояние, пройденное электроном при равноускоренном движении из состояния покоя за время t нахождения электрона в поле, может быть определено по формуле:
.
Подставив последовательно (1) в (5) и в выражение для l, а затем в (3) и, наконец, в (2), получим:
.
(6)
Подставим числовые значения величин в (6) и вычислим:
В соответствии с правилами векторного сложения скоростей в конечной точке пути электрона в поле имеем:
v=v0+v
,
или, учитывая, что v0 v взаимно перпендикулярны, получим:
.
(7)
Подставив (1) в (5), затем в (4) и, наконец, в (7), получим:
,
(8)
где
м/с.
Подставим числовые значения величин в (8) и вычислим
м/с.
Отношение работы поля к приращению кинетической энергии электрона выразим формулой:
.
(9)
Из формулы (8) следует, что
.
(10)
Подставив (6) и (10) в (9), определим требуемое отношение:
.
Пример 5.
Плоский конденсатор, расстояние между
пластинами которого
см,
заряжен до разности потенциалов
В
и отключен от источника. Площадь пластин
конденсатора
см2.
Определить заряд конденсатора. Как
изменяется емкость, разность потенциалов,
энергия конденсатора и объемная плотность
энергии его поля, если в пространство
между ними поместить плитку из фарфора
толщиной
см
и прижать к ней пластины?
Решение. Емкостью конденсатора называют величину, равную отношению заряда конденсатора к разности потенциалов между пластинами:
.
(1)
Зависимость емкости конденсатора от его размеров выражается формулой:
.
(2)
Выразив из (1) искомый заряд и подствив (2) в полученную формулу, находим:
.
(3)
Из формулы (2) видно, что изменение вида диэлектрика и расстояния между пластинами конденсатора приводит к изменению его емкости:
.
(4)
Разделив почленно (2) на (4), получим
.
(5)
Вычислим это
отношение, учитывая, что
,
м:
.
Следовательно, емкость конденсатора увеличилась в 25 раз.
Энергия поля конденсатора в его начальном и конечном состоянии выражается формулами:
Из формулы (1) получим разности потенциалов для начального и конечного состояний конденсатора:
,
,
откуда
Используя (5), получаем
.
(6)
Подставив числовые значения в (6), получим
.
Следовательно, напряжение на конденсаторе уменьшается в 25 раз.
Энергия поля конденсатора в его начальном и конечном состоянии выражается формулами
,
.
Отсюда выражаем отношение энергий:
.
(7)
Подставив (5) и (6) в (7), получим
.
Следовательно, энергия конденсатора уменьшается в 25 раз.
Объемная плотность энергии поля – это энергия, заключенная в единице объема:
,
,
где
и
–
объемы пространства между пластинами
конденсатора в его начальном и конечном
состояниях соответсвенно. Отсюда
следует, что
.
(8)
Подставив числовые значения величин в (8), получим:
.
Следовательно, объемная плотность энрегии уменьшилась в 5 раз.