1. Механика

1.1. Кинематика прямолинейного движения

Основные законы и формулы

1.При движении точки радиус-вектор, проведенный из начала координат в точку, и координаты точки, представляющие собой проекции радиус-вектора на соответствующие оси, изменяются и являются функциями времени:

r=r (t); x=x (t); y=y (t). (1.1)

Длина пути s также является функцией времени:

s=s(t). (1.2)

Уравнения (1.1) и (1.2) называются кинематическими уравнениями движения точки.

2.Если за время точка прошла на расстояние , то ее средняя скорость движения за это время

υ .

3.Скорость в данный момент времени – мгновенную скорость – можно определить как предел этого отношения при условии, что :

υ .

4.Если за время мгновенная скорость точки изменилась от υ₀ до υ, то среднее ускорение точки за это время:

а_ср . (1.3)

5.Ускорение определится как предел отношения (1.3):

а .

6.Простейшим видом механического движения является прямолинейное движение точки с постоянным ускорением. Для такого движения

а=const.

7.Законы изменения скорости и перемещения с течением времени имеют вид:

(1.4)

. (1.5)

При равномерном движении скорость точки с течением времени не меняется ( ), и в уравнениях (1.4) и (1.5) нужно положить а=0. При равноускоренном движении ( ) во всех формулах кинематики следует принять а>0, а при равнозамедленном а<0. К равнопеременному движению относят также движение тел под действием силы тяжести, если их перемещение h по вертикали, отсчитанное от поверхности Земли, мало по сравнению со средним расстоянием тела до центра Земли. При h«R₃ с достаточной степенью точности можно принять, что ускорение свободного падения g=9,8 м/с². Законы такого движения можно получить, если заменить в формулах (1.4) и (1.5) а на g и s на h.

Примеры решения задач

Пример 1. Автомобиль проходит первую треть пути со скоростью , а оставшуюся часть пути со скоростью км/ч. Определить скорость на первом участке пути, если средняя скорость на всем пути км/ч.

Решение. Весь путь разбиваем на два отрезка s₁ и s₂. Скорость и время движения обозначим соответственно . Средняя скорость определяется как частное от деления всего пройденного пути на время, за которое этот путь пройден:

.

Для каждого отрезка пути имеем:

.

На основании условия задачи запишем следующие вспомогательные уравнения движения:

Решив полученную систему уравнений относительно , получим

Пример 2. Поезд метро проходит перегон s=2 км за t=2 мин 20 с. Максимальная скорость поезда км/ч. В начале и в конце перегона поезд движется с постоянными ускорениями, равными по абсолютной величине. Определить эти ускорения.

Решение. Весь путь удобнее разбить на три участка: s₁, s₂ и s₃. Запишем для каждого участка основные уравнения движения:

Кроме этих уравнений, можно записать вспомогательные уравнения:

Решив полученную систему уравнений относительно а, получим:

Пример 3. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью . Определить максимальную высоту подъема тела и время полета.

Решение. Начало координат удобно совместить с точкой бросания, а координатную ось направить вверх. Время можно отсчитать с момента бросания тела. При этом уравнения движения примут вид:

Максимальную высоту H найдем следующим образом:

где t_П – время подъема тела. Это время определяем из условия, что в верхней точке траектории скорость равна нулю: откуда . Высота .

Из условия, что в момент падения тела координата его равна нулю (у=0), находим время полета:

.

Таким образом, . Время падения тела равно времени его подъема.

Пример 4. У светофора трактор, движущийся равномерно со скоростью 18 км/ч, обогнал автомобиль, который из состояния покоя начал двигаться с ускорением а=1,25 м/с². Определить: 1) на каком расстоянии от светофора автомобиль обгонит трактор; 2) скорость автомобиля при обгоне.

Решение. 1. В начальный момент (t= 0) скорость автомобиля равна нулю, а скорость трактора км/ч. Так как автомобиль движется равноускоренно, пройденный им путь выражается формулой:

s (1)

где a – ускорение автомобиля; t – время.

Если t – время, за которое автомобиль догонит трактор, то s – расстояние от светофора до места, где произойдет обгон.

За время t такой же путь s пройдет и трактор, движущийся равномерно, т.е.

(2)

где – скорость трактора.

Приравнивая правые части (1) и (2), получаем

at²/2= (3)

откуда

t = 2 (3^/)

Путь s, пройденный автомобилем от светофора до места обгона, получим по формуле (1), подставив вместо t выражение (3^/):

(4)

Проверим формулу (4):

.

Выразим в СИ скорость трактора:

км/ч=18 м/с=5,0 м/с.

Вычислим искомое расстояние от светофора до места обгона:

м.

2. Скорость автомобиля, движущегося равноускоренно, выражается формулой . При подстановке в нее выражения (3^/) получим .

Вычислим искомую скорость автомобиля:

м/с=10 м/с.

Пример 5. Уравнение движения материальной точки вдоль оси х имеет вид , где м/с, м/с³. Найти скорость и ускорение а в момент времени с.

Решение. Мгновенная скорость относительно оси х есть первая производная от координаты по времени:

.

Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени:

.

Подставляя значение с в полученные выражения для и а, после вычислений найдем значения скорости и ускорения а.

м/с; м/с².