Примеры решения задач
П
ример
1. По
двум длинным прямолинейным и параллельным
проводам, расстояние между которыми
d=8
см, в
противоположных направлениях текут
токи I1
=3 A,
I2
=5
A.
Найти магнитную индукцию поля в точке
А,
которая нахо-
дится на расстоянии r1 = 2 см от первого провода на линии, соединяющей провода (рис. 31).
Рис. 31
Решение. На рис. 31 провода расположены перпендикулярно плоскости чертежа. Маленькими кружочками изображены сечения проводов. Условимся, что ток I1 течет к нам, а ток I2 – от нас. Общая индукция В в точке А равна векторной (геометрической) сумме индукций В1 и В2 полей, создаваемых каждым током в отдельности:
В=В1 + В2. (1)
Для того, чтобы найти направление векторов В1 и В2, проведем через точку А силовые линии магнитных полей, созданных токами I1 и I2.
Силовые линии магнитного поля прямого провода с током представляют собой концентрические окружности с центром на оси провода. Направление силовой линии совпадает с движением концов рукоятки правого буравчика, ввинчиваемого по направлению тока (правило буравчика). Поэтому силовая линия магнитного поля тока I1, проходящая через точку А, представляет собой окружность радиусом I1A, а силовая линия магнитного поля тока I2, проходящая через эту же точку, – окружность радиусом I2 A (на рис. 31 показана только часть этой окружности).
По правилу буравчика находим, что силовая линия магнитного поля тока I1 направлена против часовой стрелки, а тока I2 – по часовой стрелке.
Теперь легко найти направление векторов В1 и В2 в точке А: каждый из них направлен по касательной к соответствующей силовой линии в этой точке.
Так как векторы В1 и В2 направлены вдоль одной прямой в одну сторону, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным равенством
В=В1 + В2 (2)
Индукция магнитного поля тока I, текущего по прямому бесконечно длинному проводу, вычисляется по формуле:
(3)
где
–
магнитная постоянная;
магнитная
проницаемость среды, в которой провод
расположен; r
– расстояние от провода до точки, в
которой определяется индукция.
Подставив выражение (3) для В1 и В2 в равенство (2), получим:
или
(4)
Вычислим искомую индукцию:
Пример 2. На виток проволоки, имеющей сопротивление R=0,5 Ом, подается напряжение U=10 В. Определить: 1) индукцию магнитного поля в центре витка; 2) магнитный момент витка, если его диаметр 20 см; 3) максимальный вращающий момент, если виток поместить в магнитное поле с индукцией B= 5 Тл.
Решение. Индукция магнитного поля в центре витка с током определяется по формуле
(1)
где I
– сила тока;
магнитная постоянная; r
– радиус витка;
– относительная магнитная проницаемость
среды.
Из закона Ома находим силу тока:
I=U/R. (2)
Подставляя формулу (2) в (1), получим:
(3)
Вычислим искомую индукцию:
2. Магнитный момент
замкнутого плоского контура с током I
определим по формуле:
(4)
где S – площадь контура.
Выражение площади S= r2 подставим в формулу (4):
.
Вычислим магнитный момент:
3. Вращающий механический момент, действующий на виток с током, определим по формуле:
М=
,
(5)
где – магнитный момент; В – магнитная индукция; угол между направлениями тока и индукции поля.
При
механический
момент максимален.
Подставим числовые значения величин в (5) и вычислим:
М= 0,63∙ 5= 3,15 Н∙м.
Пример 3. Катушка длиной l=10 см и площадью сечения S=30 см2 имеет 12 витков на 1 см длины. Индукция поля в катушке равна В=8∙10-3 Тл. Определить силу тока в катушке и энергию магнитного поля.
Решение. 1. Индукцию магнитного поля на оси соленоида определим по формуле:
(1)
где n – число витков на единицу длины катушки; I – сила тока, протекающего по виткам.
Из формулы (1) определим силу тока:
I=
(2)
Подставим числовые значения величин в (2) и вычислим:
I=
.
2. Определим энергию магнитного поля по формуле:
W=
(3)
где L – индуктивность катушки; I – cила тока.
Индуктивность катушки находим по формуле:
L=
(4)
где – магнитная проницаемость среды; – магнитная постоянная; n – число витков на единицу длины; V – объем катушки.
Объем катушки равен:
,
(5)
где S и l – соответственно площадь сечения и длина катушки.
Подставим в формулу (3) выражение (4) и (5):
W=
.
(6)
Подставим значения величин в (6) и вычислим:
W=
Пример 4.
Заряженная частица движется в магнитном
поле по окружности со скоростью
Индукция магнитного поля В=0,3
Тл. Радиус
окружности r=4
cм.
Определить: 1) заряд частицы, если
известно, что ее энергия равна Т=1,2∙104
эВ, 2) ускоряющую
разность потенциалов, придавшую скорость
частице.
Решение. 1. На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца, определяемая по формуле:
Fл=
QB
,
(1)
где Q – заряд частицы; В – магнитная индукция; – скорость частицы; угол между векторами скорости и магнитной индукцией.
Сила Лоренца обуславливает центростремительное ускорение в соответствии с правилом левой руки, определяющим направление этой силы:
Fл=
maц.с
=m
,
(2)
где m – масса частицы; – ее скорость; r – радиус окружности.
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получим:
QB
(3)
Уравнение (3) решим относительно Q:
Q=
.
(4)
Движущаяся частица обладает кинетической энергией, которую можно определить по формуле:
T=m
(5)
Из уравнения (5) определим массу частицы и ее выражение подставим в формулу (4):
Q=
, (6)
где (так как вектор скорости перпендикулярен вектору индукции поля, частица движется по окружности).
Подставим значения величин в (6) и вычислим
Q=
2. По закону сохранения энергии, работа, совершенная электрическим полем при перемещении заряженной частицы, равна кинетической энергии, приобретенной частицей, т.е.
А= m =Т (7)
Работа поля по перемещению заряда определяется по формуле:
А=QU, (8)
где Q – заряд частицы; U – ускоряющая разность потенциалов.
Подставив (8) в (7), выразим искомую разность потенциалов:
U=T/Q (9)
Подставив в (9) числовые значения величин в СИ, получим:
U=
.
Пример 5. Плоская рамка площадью S=100 см2, содержащая N=20 витков тонкого провода, вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=100 мТл. Амплитуда ЭДС индукции εmax=10 B. Определить частоту вращения рамки.
Решение. Используя понятие угловой скорости вращения (ω=2π/Т=2πn, где Т – период вращения; n – частота вращения), определим частоту вращения рамки:
n=ω/(2π). (1)
Угловую скорость вращения найдем из соотношения
ε=N B S ω sin ω t , (2)
где ε – мгновенное значение ЭДС индукции.
Амплитудой ε является величина εmax, соответствующая значению sin ωt=1. Из соотношения (2) имеем:
.
(3)
Подставим выражение (3) в (1) и получим:
.
(4)
Используем числовые значения величин в (4) и вычислим:
Пример 6. На немагнитный каркас длиной l=50 см и площадью сечения S=3см2 намотан в один слой провод диаметром d=0,4 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу. Определить: 1) индуктивность получившегося соленоида; 2) магнитный поток, проникающий сечение соленоида при токе I=1А.
Решение. 1. Индуктивность соленоида вычислим по формуле:
L=
,
(1)
где n – число витков, приходящих на единицу длины соленоида, V – объем соленоида.
Число витков n получим, разделив единицу длины на диаметр провода:
n=1/d (2)
Объем соленоида равен
V= S l , (3)
где S – площадь поперечного сечения соленоида; l – длина соленоида.
Подставим выражения (2) и (3) в равенство (1):
L=
(4)
Используем числовые значения величин в (4) и вычислим:
L=
2. При наличии тока в соленоиде любое его поперечное сечение площадью S пронизывает магнитный поток:
Фm=BS, (5)
где В – магнитная индукция внутри соленоида.
Магнитную индукцию соленоида определим по формуле:
В=
(6)
Подставим выражение (2) и (6) в (5), получим расчетную формулу:
Фm=
(7)
Подставим в формулу (7) числовые значения величин в СИ и вычислим:
Фm=
.