2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин

Краткие теоретические сведения.

1. Двумерная дискретная случайная величина задается в виде таблицы распределения. . Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из ее составляющих. Так, например, вероятность того, что Х примет значения , равна .

2. Совместная функция распределения двух случайных величин: = .

3. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины:

.

Зная плотность совместного распределения , можно найти совместную функцию распределения по формуле:

.

Свойства двумерной плотности вероятности:

1)

2)

4. Для независимых случайных величин справедливы соотношения: ; ;

; .

5. Вероятность попадания в прямоугольную область:

Задачи.

1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:

Y X	7	12
4	0,17	0,10
11	0,13	0,30
15	0,25	0,05

Найти законы распределения составляющих.

2. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения:

Y X	5	10	15
2	0,3	0,15	0,05
4	0,15	0,10	0,05
6	0,05	0,05	0,05
8	0,05	0	0

Найти законы распределения составляющих X, Y. Проверить, являются ли независимыми эти случайные величины.

3. Задана функция распределения непрерывной случайной величины (X,Y): Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно

4. Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми

5. Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми , если известна функция распределения:

6. Задана функция распределения двумерной случайной величины:

Найти двумерную плотность вероятности.

7. Найти плотность вероятности случайной величины по известной функции распределения:

8. Независимые случайные величины Х и Y имеют соответственно плотности:

Найти: а) функции распределения и ; б) функцию распределения системы (X,Y); в) плотность распределения вероятностей системы (X,Y).

9. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины (X,Y):

а) Найти функцию распределения системы; б) вычислить вероятность того, что Х и Y примут соответственно значения Х<6, Y<7.

10. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины (X,Y):

Требуется: а) найти функцию распределения этой случайной величины; б) вычислить вероятность того, что X и Y примут значения

11. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y) равна:

Найти: а) постоянный множитель С;

б) плотности распределения составляющих X и Y .

12. Система случайных величин распределена по закону:

Требуется установить:

а) являются ли величины X, Y зависимыми;

б) найти коэффициент ;

в) вероятность попадания в квадрат х₁ = 0,5; х₂ = 1, у₁ = 1; у₂ = 2.

13. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам: по величине и длительности. Получилась такая таблица:

	Краткосрочные	Долгосрочные
Мелкие	0,3	0,2
Средние	0,2	0,05
Крупные	0,2	0,05

Определите, независимы ли эти параметры? Найдите законы распределения краткосрочных и долгосрочных кредитов по величине кредитов.