6.3. Задачи на использование схемы гибели и размножения
Краткие теоретические сведения.
Марковский процесс
с дискретными состояниями
называется процессом гибели и
размножения, если все состояния
процесса можно вытянуть в цепочку, в
которой каждое из промежуточных состояний
может переходить только в соседние
состояния, а крайние состояния
переходят лишь в состояния
и
соответственно.
Для схемы гибели и размножения справедливы формулы
,
где
-
вероятность нахождения системы в
состоянии 1 (начальное состояние).
Задачи.
1. Найти вероятности состояний в установившемся режиме для процесса гибели и размножения, граф которого имеет вид:
Размеченный граф состояний в установившемся режиме для процесса гибели и размножения имеет вид:
Найти вероятности состояний.
3. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции некоторого акционерного общества может колебаться в пределах от 1000 до 2000 д.е. включительно. Рассмотрим 5 состояний акции, характеризующихся ее рыночной ценой:
-
от 1000 до 1200 д.е.
-
от 1200 до 1400 д.е.
-
от 1400 до 1600 д.е.
-
от 1600 до 1800 д.е.
-
от 1800 до 2000 д.е. включительно.
В силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени, при этом абсолютное изменение цены не превосходит 200 д.е. Переходы системы из одного состояния в другое происходят со следующими плотностями вероятностей переходов:
Требуется спрогнозировать рыночную цену акции на будущее. Стоит ли приобретать акции по цене 1600 д.е.?
4
.
Размеченный граф состояний системы
имеет вид:
Найти вероятности
состояний и характеристику
на момент времени
В начальный момент времени система
находилась в состоянии
.
5. Вывести формулу для вероятностей состояний в схеме гибели и размножения
Ответы
Глава 1.
1.1 Элементы комбинаторики.
1. 362880; 2.а) 120; б) 720; 3. 20; 4. 40320; 60; 30; 210; 5.0,008; 6.а)48; б)100; 7. 0,042; 8. 12; 9. 27216; 10. 576; 11. 8; 13. 720; 14. 30; 15. 7920; 16. 46080; 17. 10080; 30240; 18. 20; 19. 26; 21.а) 1/756; б) 1/1512; в) 1/3780; 22. 24; 23. 30; 24. 15504;
25. 3278760; 26.а) 49; б) 42; 27. 240; 28. 1000; 29. 25; 30. 720; 31. 120; 32. 90 или 100; 33. 10; 35. 126; 36. 15;
1.3 Классическое определение вероятности и урновая схема.
1. 0,08; 2.а)0,384;
б)0,096; в) 0,008; 3. 475; 4. 1/720;
5. 
;
6.а) 0,62; б) 0,33; 7. 0,33; 8.а)
0,125; б) 0,875; 9. 0,571; 10.а) 0,444; б)
1/3024; 11. 0,0002441; 12. 44/45; 13.б)
;
в)
;
г)
;
14.а) 0,44; б) 0,14; в) 0,41; 15.а)
0,579;
б) 0,997; 16.а)0,029; 17. 0,067;
18. 0,087; 19. 0,4; 20. 0,2;
21.
0,4; 22. 0,1; 23. 0,41; 24. 0,36; 25.
0,13; 26. 0,848; 27. 2/91;
1.4 Геометрические вероятности.
1. 0,8333; 2.
0,2083; 3. 0,121; 4. 0,098; 5. 0,355; 6.
0,083; 7. 0,667; 9. 0,6; 10.
;
11.
;
12. 0,637; 13. 0,414; 14. 0,368; 15.
0,556; 16. 0,274; 17. 0,3.