Глава 2. Случайные величины и законы их распределения

2.1 Законы и функции распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия

Краткие теоретические сведения.

Случайной величиной (СВ) называют переменную величину, которая в зависимости от исходов испытания принимает значения, зависящие от случая.

Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной (принимает отдельные, изолированные значения).

Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной (число значений – бесконечно).

1) Законом распределения дискретной случайной величины называется соответствие между значениями этой величины и их вероятностями , т.е. совокупность пар чисел , при этом должно выполняться условие нормировки .

2) Функцией распределения случайной величины называют функцию F(x), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х: (т.е. на числовой оси лежит левее х)

а) функция распределения случайной дискретной величины:

б) функция распределения непрерывной случайной величины: , т.е. вероятность того, что случайная величина Х, заключена между и , равна разности соответствующих значений функции распределения.

График функции распределения для дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую разрывную функцию, а непрерывной – монотонно возрастающую непрерывную функцию.

Свойства функции распределения:

1. F(–∞) = 0.

2. F(+∞) = 1.

3. F(x1) ≤ F(x2), при x1 < x2.

4. p(a ≤ X < b) = F(b) – F(a).

3) Плотность распределения вероятностей (или плотность вероятности) определяется лишь для непрерывных случайных величин.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения.

Зная плотность распределения вероятностей, можно найти функцию распределения

Свойства плотности распределения вероятностей.

1)

2)

3)

4) Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины и определяется по формулам:

а) для дискретной случайной величины:

, где .

б) для непрерывной случайной величины:

, где - плотность вероятности.

Свойства математического ожидания:

5) Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формулам:

а) в случае дискретной случайной величины, имеющей закон распределения .

б) для непрерывной случайной величины формула для расчета дисперсии имеет вид

Свойства дисперсии:

6) Средним квадратическим отклонением (СКО) называется корень квадратный из дисперсии случайной величины

Этот параметр также характеризует ширину диапазона значений СВ.

Задачи.

1. На складе ремонтного отдела цеха находятся 10 блоков к приборам, из которых 4 дефектных. Пусть Х – случайная величина – число исправных блоков среди трех выбранных. Найти закон распределения Х, математическое ожидание и дисперсию.

2. Производится серия независимых опытов, в каждом из которых событие А наступает с одной и той же вероятностью p. Опыты продолжаются до первого наступления события А. Рассматривается случайная величина Х – число произведенных опытов. Составить для нее закон распределения.

3. Банк выдает пять кредитов. Вероятность невозврата кредита равна 0,2 для каждого из заемщиков. Составить закон распределения количества заемщиков, не вернувших кредиты по окончании срока кредитования.

4. Вероятностный прогноз для величины Х – процентного изменения стоимости акций по отношению к их текущему курсу в течение шести месяцев задается законом распределения

Х	5	10	15	20	25	30
р	0,1	0,1	0,2	0,3	0,2	0,1

Найти вероятность того, что покупка акций будет более выгодна, чем помещение денег на банковский депозит под 3% годовых за месяц сроком на 6 месяцев.

5. Функция распределения случайной величины имеет вид

Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение из интервала

(-/3; -/6 ).

6. Закон распределения дискретной случайной величины имеет следующий вид

Х	0	1	2	3
р	0,15	0,35	0,3	0,2

Найти функцию распределения этой случайной величины.

7. Плотность распределения случайной величины Х задана функцией Определить значение параметра С и найти вероятность .

8. Плотность вероятности случайной величины Х задана функцией

Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение из интервала (0,5;1).

9. Случайная величина Х задана функцией распределения

Найти ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

10. В городе 4 частных предприятия. У каждого риск банкротства составляет 25%. Составить закон распределения числа предприятий, которые могут обанкротиться в течение следующего года. Найти дисперсию и математическое ожидание полученного распределения.

11. Дискретная случайная величина Х, которая может принимать бесконечную последовательность значений, задана следующим законом распределения

Х				…		…
р				…		…

Найти математическое ожидание этой случайной величины.

12. Пусть ежедневные затраты на обслуживание и рекламу автомобилей в автосалоне составляют в среднем 120 тыс. д.е., а число продаж автомобилей Х за день подчиняется закону распределения

Х	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
р	0,25	0,2	0,1	0,1	0,1	0,1	0,05	0,05	0,025	0,025

а) найти математическое ожидание ежедневной прибыли при цене автомобиля в 150 тыс. д.е.

б) найти дисперсию ежедневных продаж числа автомобилей.

13. В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случайным образом отбирает 5 счетов. При условии, что 3% счетов содержат ошибки, составьте закон распределения числа правильных счетов.

14. Из десяти мобильных телефонов, среди которых два бракованных, случайным образом выбраны два. Определить и построить: а) ряд распределения случайного числа X бракованных мобильных телефонов в выборке; б) функцию распределения F(x) величины X.

15. В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Из этой партии наудачу взято 2 детали. Найти функцию распределения дискретной случайной величины, равной числу стандартных деталей в выборке.

16. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Х	1	3	8	12	16
р	0,12	0,15	0,28		0,16

Чему равна вероятность ?

17. Найти математическое ожидание и дисперсию дискретной случайной величины с законом распределения

Х	7	8	10	12	14
р	0,15	0,25	0,4	0,18	0,02

18. Плотность вероятности случайной величины Х

Определить: а) коэффициент ; б) функцию распределения случайной величины Х; в) математическое ожидание; г) вероятность попадания СВ Х в интервал .

19. В рекламных целях фирма вкладывает в каждую 10-ю единицу продукции приз 1000 руб. Пусть Х – случайная величина – размер выигрыша при 5 сделанных покупках. Изобразить график функции распределения Х и найти ее математическое ожидание.

20. Для сдачи зачета студент должен решить три задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.

21. Найти математическое ожидание случайной величины Y=12X+8, если известно, что М(Х)=4,5.

22. На пяти персональных компьютерах работают пользователи, причем вероятность того, что каждый из них находится в сети Internet, равна 0,6. Пусть случайная величина X – это число пользователей, работающих в сети. Определить ряд распределения и функцию распределения величины X, а также математическое ожидание, дисперсию и СКО случайной величины Х.

23. Для случайной величины X плотность вероятности f(x) = аx при x [0; 2], f(x) = 0 при x < 0 и x > 2. Найти: а) коэффициент а; б) функцию распределения F(x); в) вероятность попадания на отрезок [1; 2].