Задачи.

7. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя . Требуется:

1. при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

при конкурирующей

2. при том же уровне значимости проверить ту же нулевую гипотезу при конкурирующей

8. Средний вес таблетки сильнодействующего лекарства должен быть равен Выборочная проверка 225 таблеток партии показала, что средний вес этой таблетки Требуется при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу при конкурирующей

Многократными предварительными опытами по взвешиванию таблеток данного фармацевтического предприятия было установлено, что вес таблеток распределен нормально со средним квадратическим отклонением

9. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением извлечена выборка объема и по ней найдена выборочная средняя Требуется:

а) при уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

при конкурирующей

б) те же условия, но ;

в) найти величину , при которой нельзя сказать ничего определенного о справедливости .

10. По результатам замеров установлено, что выборочное среднее время (в секундах) изготовления детали . Предполагая, что время изготовления – нормально распределенная случайная величина с дисперсией , рассмотреть при уровне 0,95 гипотезу , при конкурирующей .

11. С автоматической линии в ОТК завода поступают однотипные подшипники. В течение суток отобрано 90 подшипников и сделаны замеры по их внешней стороне. Среднее арифметическое замеров выборки оказалось , а среднее квадратичное отклонение . Необходимо дать заключение, что линия постоянно обеспечивает заданный номинальный размер 12 см при уровне значимости . Предполагается, что размеры подшипников распределены по нормальному закону с дисперсией .

Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

,

где - исправленное среднее квадратическое отклонение. Величина имеет распределение Стьюдента с степенями свободы.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу

о равенстве неизвестной генеральной средней нормальной совокупности с неизвестной дисперсией гипотетическому (предполагаемому) значению при конкурирующей гипотезе

нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке таблицы, и числу степеней свободы найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе по уровню значимости, помещенному в нижней строке таблицы и числу степеней свободы , находят критическую точку правосторонней критической области.

Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе сначала находят вспомогательную критическую точку по правилу 2 и полагают границу левосторонней критической области

Если – нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.