Глава 4. Проверка статистических гипотез

Краткие теоретические сведения.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу

Альтернативной (конкурирующей) называют гипотезу , которая противоречит нулевой.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Так как проверку производят статистическими методами, то ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотез в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Вероятность совершения ошибки первого рода называют уровнем значимости и обозначают . Чаще всего уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01.

Статистическим критерием называют случайную величину (К), которая служит для проверки нулевой гипотезы.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают, а областью принятия гипотезы – при которых гипотезу принимают. Существуют критические точки, разделяющие критическую область и область принятия решений.

Различают правостороннюю ( , где - положительное число), левостороннюю ( , где -отрицательное число), и двустороннюю ( , ) критические области.

Основной принцип проверки статистических гипотез гласит: если наблюдаемое значение критерия принадлежат критической области – гипотезу отвергают, если области принятия гипотезы – гипотезу принимают.

Наблюдаемое значение критерия К вычисляется по выборкам.

Критические точки находят по таблицам, исходя из значений уровня значимости и степеней свободы ( ).

4.1 Сравнение дисперсий

4.1.1 . Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

По независимым выборкам, объемы которых равны , извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены исправленные выборочные дисперсии . Требуется сравнить эти дисперсии.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе нужно вычислить наблюдаемое значение критерия (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей)

и по таблице критических точек распределения Фишера, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы число степеней свободы, соответствующее выборке с большей исправленной дисперсией) найти критическую точку Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае – ее отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе критическую точку ищут по уровню значимости , т.е. Все остальное, как и в предыдущем случае.

Задачи.

1. По двум независимым выборкам объемов извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

при конкурирующей гипотезе

2. По двум независимым выборкам объемов извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

при конкурирующей гипотезе

3. По двум независимым выборкам объемов извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

при конкурирующей гипотезе

4. По двум независимым выборкам объемов извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены выборочные дисперсии

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

при конкурирующей гипотезе

5. Двумя методами проведены измерения одного и того же экономического параметра. Получены следующие результаты

а) в первом случае

б) во втором случае

Можно ли утверждать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости 0,1. Предполагается, что результаты измерений распределены нормально и выборки независимы.

6. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты 2 пробы (выборки) объемов В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты

	8,77	8,93	9,09	9,26	9,34	10,15	11,04	11,21	11,37	11,53
	8,44	8,51	8,97	9,27	10,11	10,26	10,34	10,49

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью

,

если принять уровень значимости и в качестве конкурирующей гипотезы принять

7. По двум независимым выборкам объемов найдены исправленные выборочные дисперсии

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий

8. По двум независимым выборкам, объемы которых извлеченным из нормальных генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные выборочные дисперсии

При уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при конкурирующей гипотезе:

9. Расходы сырья и на единицу продукции по старой и новой технологиям приведены в таблице:

По старой технологии По новой технологии

Расход сырья		304	307	308		303	304	306	308
Число изделий		1	4	4		2	6	4	1

Предполагается, что генеральные совокупности и имеют нормальное распределения. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий на уровне значимости .