- •Академия управления
- •Содержание
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей 4
- •Глава 1. События и вероятности 4
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей Глава 1. События и вероятности
- •1.1 Элементы комбинаторики
- •1.2 Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Операции над событиями
- •Задачи.
- •1.3 Задачи на классическое определение вероятности и гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Задачи.
- •1.4 Геометрические вероятности
- •Задачи.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей
- •Понятия:
- •Формулы умножения вероятностей.
- •Формулы сложения вероятностей.
- •Задачи.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1. Формула полной вероятности
- •2. Формула Байеса
- •Задачи.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •5. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •Задачи.
- •Глава 2. Случайные величины и законы их распределения
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия
- •Задачи.
- •2.2 Важнейшие распределения: биномиальное, Пуассона, показательное, равномерное и геометрическое
- •Задачи.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства
- •Задачи.
- •2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин
- •5. Вероятность попадания в прямоугольную область:
- •Задачи.
- •Часть II. Математическая статистика Глава 3. Доверительные интервалы
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Задачи.
- •Глава 4. Проверка статистических гипотез
- •4.1 Сравнение дисперсий
- •4.1.1 . Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи.
- •4.1.2. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Задачи.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей
- •4.2.1. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)
- •Задачи.
- •4.2.2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки.
- •Задачи.
- •4.2.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Задачи.
- •Задачи.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции
- •Задачи.
- •1. Найти коэффициент корреляции между величинами X и y, совместный закон распределения которых задан следующей таблицей:
- •Глава 6. Цепи Маркова
- •6.1 Цепи Маркова с дискретным временем
- •Задачи.
- •6.2 Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнение Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы.
- •Задачи.
- •6.3. Задачи на использование схемы гибели и размножения
- •Задачи.
- •Глава 1.
- •1.1 Элементы комбинаторики.
- •1.3 Классическое определение вероятности и урновая схема.
- •1.4 Геометрические вероятности.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Глава 2.
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин.
- •2.2 Важнейшие распределения.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства.
- •2.4 Двумерные случайные величины.
- •Глава 3.
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Глава 4.
- •4.1 Сравнение дисперсий.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции.
- •Глава 6.
- •6.1 Дискретные цепи Маркова.
- •Непрерывные цепи Маркова.
- •Задачи на использование схемы гибели и размножения.
- •Приложения
1.2 Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Операции над событиями
Краткие теоретические сведения
А) Понятия.
В результате испытаний могут наступать элементарные события . Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называется пространством элементарных событий .
Элементарные события из , при которых событие А наступает, называются благоприятствующими событию А.
Группа событий называется полной, если при проведении опыта всегда происходит какое-то из этих событий.
Б) Операции над событиями.
1) означает, что событие А влечет за собой событие В, или событие В происходит всякий раз, когда происходит А.
2) А=В означает, что событие А тождественно или эквивалентно событию В и это возможно в том случае, если одновременно и
3) Суммой событий (или ) - называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного события А или В.
4) Произведением событий (или ) называется событие, состоящее в совместном осуществлении событий А и В.
5) - разность событий. Это событие, которое означает, что наступило событие А, но не происходит событие В.
6) Событие - это событие противоположное событию А. Оно состоит из всех исходов, которые не входят в событие А. Или: - это событие, которое происходит только тогда, когда А не происходит.
В) Свойства операций над событиями.
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. Ø 12.
Задачи.
1. На столе лежит 12 пронумерованных карточек. Опыт состоит в извлечении одной карточки. Требуется:
а) составить пространство элементарных событий для данного опыта;
б) указать элементарные события (исходы), благоприятствующие событиям:
A = {появление карточки с нечетным номером},
B ={появление карточки с четным номером},
C={появление карточки с номером, большим чем 3},
D={появление карточки с номером, меньшим чем 7};
в) пояснить, что означают события ;
г) какие из пар событий A, B, C, D совместны, а какие нет?;
д) какие из этих пар событий образуют полную группу, а какие нет?;
е) привести примеры невозможного и достоверного событий.
2. Построить пространство элементарных событий для следующих испытаний:
а) гроссмейстер играет в шахматы с компьютером;
б) трижды подбрасывается монета.
3. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Пусть событие - первый студент решил задачу, - второй, - третий. Выразить через события следующие события:
а) A = {все студенты решили задачу};
б) B = {задачу решил только первый студент};
в) С = {задачу решил хотя бы один студент};
г) D = {задачу решил только один студент}.
4. Электрическая цепь составлена по схеме
Событие
Событие
Выразить события через события .
5. Электрическая цепь составлена по схеме
Событие
Событие
Выразить события через события .
6. В кабинете стоят три персональных компьютера. События означают, что включен компьютер. Представить в виде сумм, произведений и сумм произведений событий и следующие события:
A - все три компьютера включены;
B - все три выключены;
C – хотя бы один включен;
D – хотя бы один выключен;
E – не менее двух включено;
F – не более одного включено;
7. Событие А – хотя бы одно из имеющихся четырех изделий бракованное, событие В – бракованных изделий не менее трех. Что означают события и ?
8. Рабочий обслуживает три автоматических станка. Событие А – хотя бы один из трех станков потребует внимания рабочего в течение часа, В – все три станка не потребуют внимания рабочего в течение часа. Что означают события: а) А+В; б) АВ?
9. Пусть A, B, C – любые случайные события из произвольного пространства элементарных событий. Записать выражения для следующих событий:
а) произошло только А;
б) А и В, но не С;
в) все три события;
г) покрайней мере одно;
д) ровно одно;
е) ровно два;
ж) ни одного;
з) произошло не больше двух.
10. Прибор состоит из двух блоков первого типа и трех блоков второго типа. События: - исправен i-й блок первого типа, - исправен блок второго типа. Прибор работает, если исправен хотя бы один блок первого типа и не менее двух блоков второго. Выразите событие С, означающее работу прибора, через события и .
11. Доказать равенства
а) A + B = (A-B) + (B-A) + AB
б) (A + B) – B = A – B
в) (A – B) + B = A + B
д) (A + B) C = A C + B C
12. При каких условиях справедливы следующие соотно- шения: а) A + B = A B
б) (A + B) – B = A
13.Упростить выражения:
а) б) (A + B) (B + C) (C + A) в) (A+B) B + A (AB)
14. Из ящика, в котором находятся изделия трех сортов, извлекается деталь. Пусть событие А – «извлечена деталь первого сорта», событие В – «извлечена деталь второго сорта», событие С – «извлечена деталь третьего сорта». Что представляют собой следующие события: ?
15. На трех станках изготавливают однотипные изделия. Событие ( -1,2,3) – изделие, изготовленное на -м станке, отвечает стандарту. Что означают события:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ?