Часть II. Математическая статистика Глава 3. Доверительные интервалы

3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии

Краткие теоретические сведения.

Выборочной совокупностью называют совокупность случайно отобранных объектов.

Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка.

Выборочным средним (или просто ) называют среднее арифметическое значение признака выборочной совокупности. Если все значения признака выборки объема n различны, то

.

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то

Выборочная дисперсия, если все значения признака выборки объема n различны, то

Если значения признака имеют частоты соответственно, причем , то

Исправленная выборочная дисперсия

Исправленное среднее квадратическое отклонение

А) Доверительные интервалы для математического ожидания при известной дисперсии.

Доверительный интервал для неизвестного математического ожидания генеральной совокупности при известной дисперсии находится по формуле:

.

Где - выборочное среднее, - надежность, - среднее квадратическое отклонение, точность оценки .

Число определяется из равенства ; по таблице функции Лапласа находят аргумент , которому соответствует значение функции Лапласа, равное .

Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находят по формуле .

Б) Доверительные интервалы для математического ожидания при неизвестной дисперсии.

Доверительный интервал определяется по формуле

.

Параметр определяется по таблице распределения Стьюдента исходя из известных значений и числа степеней свободы .

В) Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.

при

при

Параметр определяется по имеющимся таблицам исходя из известных значений и числа степеней свободы .

Задачи.

1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределенного признака Х генеральной совокупности, если известны среднее квадратическое отклонение , выборочная средняя и объем выборки:

2. Извлечена выборка из большой партии светодиодов, содержащая 100 шт. Средняя продолжительность работы светодиода выборки оказалось равной 1000 часов. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности работы светодиода всей генеральной совокупности a , если известно, что генеральная дисперсия Предполагается, что продолжительность работы светодиода распределена нормально.

3. Станок-автомат штампует детали цилиндрической формы. По выборкам объемов вычислена выборочная средняя диаметров деталей. Найти с надежностью 0,95 точность , с которой выборочная средняя оценивает математическое ожидание a генеральной совокупности, зная, что среднее квадратическое отклонение Считать, что диаметры деталей распределены по нормальному закону.

4. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратическое отклонение нормально распределенной генеральной совокупности.

5. Агентству по недвижимости требуется оценить среднюю квартплату за квартиры определенного типа с надежностью не менее 99% и погрешностью меньше 5 д.е. Предполагая, что квартплата имеет нормальное распределение со средним квадратическим отклонением, не превышающим 20 д.е., найти минимальный объем требуемой для этого выборки.

6. С целью изучения размеров дневной выручки в сфере мелкого бизнеса произведена 10% выборка из 1000 торговых киосков города. В результате были получены данные о средней дневной выручке, которая составила 1200 д.е. В каких пределах с вероятностью 95% может находиться средняя дневная выручка всех торговых точек изучаемой совокупности, если среднее квадратическое отклонение составило

7. Из генеральной совокупности извлечена выборка

Варианта	-1	1	2	3	4	5
Частота	2	3	2	4	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.l

8. По данным 9 независимых равноточных измерений некоторого параметра найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное среднее квадратическое отклонение Оценить истинное значение параметра с помощью доверительных интервалов с надежностью

Предполагается, что результаты измерений распределены нормально.

9. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

Варианта	-0,4	-0,3	-0,2	0	0,2	0,5	0,8	1	1,2	1,4
Частота	1	2	1	1	1	1	1	1	2	1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание нормально распределенного признака генеральной совокупности c помощью доверительного интервала.

10. Для отрасли, включающей 700 предприятий, составлена случайная выборка объема n= 16. По выборке оказалось, что на предприятии в среднем работает 60 человек при среднем квадратичном отклонении Пользуясь 95%-м доверительным интервалом, оцените среднее число работающих в отрасли. Предполагается, что количество работников предприятий имеет нормальное распределение.

11. Из 150 работников предприятия случайным образом отобрано 20 человек, средняя зарплата которых составила 800 д.е., а среднее квадратичное отклонение Предполагая, что зарплата распределена по нормальному закону, определите с 95%-й надежностью среднюю зарплату на предприятии и суммарные затраты предприятия на зарплату в месяц.

12. По данным выборки объема из генеральной совокупности, найдено исправленное среднее квадратическое отклонение нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение  с надежностью

13. Произведено 10 измерений одним прибором (без систематических ошибок) некоторой величины, причем исправленное среднее квадратическое отклонение s оказалось равным 0,05. Найти точность прибора с надежностью

14. Произведена случайная выборка из 20 фотоэлементов. Найти выборочные и исправленные средние квадратические отклонения и , а также 95 %-е доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии продолжительности работы всех фотоэлементов партии. Продолжительность работы фотоэлементов распределена по нормальному закону. Результаты случайной выборки приведены в таблице:

Продолжительность работы, сут.	600	620	630	640
Количество (частота)	5	4	10	1

15. Для определения среднего процентного содержания белка в зернах пшеницы было отобрано 625 зерен, обследование которых показало, что выборочное среднее равно , а выборочная дисперсия . Чему равна с вероятностью 0,988 предельная ошибка выборки?

16. Службой контроля проверен расход энергии в течение месяца в 10 квартирах 70-квартирного дома, в результате чего были получены значения (кВт,ч): 125, 78, 102, 140, 90, 45, 50, 125, 115, 112. Определить с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки среднего расхода электроэнергии в доме.

17. Из партии 5000 пьезоэлементов отобрано 300. Средняя продолжительность безотказной работы пьезоэлемента в выборке оказалась равной 1450 ч, а дисперсия 40000 ч². Какова вероятность того, что средний срок безотказной работы во всей партии заключен в пределах от 1410 до 1490 ч?