Контрольные вопросы к разделу 8

20. Доказать, что коэффициенты ряда Котельникова s(t), это значения сигнала в моменты времени t=nT_д.

21. Доказать, что функции отсчетов sinc(t-nT_д) и sinc(t-mT_д) ортогональны при n¹m.

22. Определите спектральную плотность импульса, заданного аналитическим выражением s(t)=sinc(t-nT_д).

23. Почему невозможно существование функции, описывающей сигнал, ограниченный во времени и имеющий ограниченный частотный спектр?

9. Представление сигналов функциями Уолша

В 1923 г. американским математиком Уолшем (Walsh J.L.) были введены и изучены функции, носящие его имя. Дискретные сигналы на основе функций Уолша (ФУ) представляют собой полную систему ортогональных функций типа прямоугольной волны. Область применения функций Уолша, достаточно обширная в настоящее время, постоянно расширяется.

Функции Уолша графически могут быть изображены различными способами. Однако на интервале своего определения они принимают только два значения: +1 и –1. При использовании ФУ обычно вводят безразмерное время, так что.

На рис. 9.1 представлены первые 8 функций Уолша (прямоугольных волн) на интервале значений аргумента.

Рис. 9.1. Функции Уолша, упорядоченные и пронумерованные в соответствии с количеством перемен знака на интервале .

Принятое обозначение wal_k(q) связано с написанием фамилии Walsh. Индекс k указывает на число перемен знаков (число пересечений нулевого уровня) функцией на интервале определения. Поэтому половину значения k иначе называют частостью колебания wal_k(q). Область существования ФУ характеризуется размером базиса , гдеn=1,2,3,.… На рис. 9.1 размер базиса .

Функции Уолша ортонормированы на интервале :

Функции Уолша обладают свойством мультипликативности, т.е. перемножение двух ФУ дает другую ФУ, при этом

,

где операция обозначает поразрядное суммирование по модулю 2 по правилам:

1Å1=0; 0Å0=0; 1Å0=1; 0Å1=1.

Умножение ФУ самой на себя дает функцию нулевого порядка , так как в результате получаются только произведения видаи. Таким образом,

Умножение любой ФУ на функцию нулевого порядка, т.е.

не изменяет первой функции. В этом смысле ФУ играет роль своеобразной «единичной» функции.

Естественно, что полная ортонормированная система функций Уолша позволяет представлять любые сигналы рядами Уолша–Фурье.

.

Процедура нахождения амплитуды каждой «прямоугольной гармоники» ряда Уолша–Фурье весьма проста: при известном сигнале s(t) для k-той «гармоники» коэффициентопределяется по формуле

.

Пример: разложить в ряд Уолша–Фурье функцию на интервале, ограничившись восемью членами разложения (базис).

Переходя к безразмерному времени следует обозначить. Поскольку заданная функцияs(t) нечетная относительно , а все функции Уолша с четными индексами, включая нуль, четные рис. 9.1, то произведения, гдебудут нечетными функциями и, следовательно, интеграл от этих произведений равен нулю: с₀=с₂=с₄=с₆=0.

Теперь вычислим коэффициенты и:

Таким же образом нетрудно подсчитать коэффициент . Формула для его подсчета включает восемь интегралов с подынтегральными выражениями в виде произведений функциина функции Уолша, принимающие значения. В итоге.

Коэффициент равен:

,

где обозначено , а.

Проделав несложные выкладки можно получить

Таким образом, разложение синусоидального колебания s(t) в базисе функций Уолша с N=8 имеет две ненулевые спектральные составляющие с амплитудами и

.

Результат аппроксимации сигнала усеченным рядом функциям Уолша и спектр этого сигнала в базисе функций Уолша представлен на рис. 9.2,а и б соответственно.

Рис. 9.2. Представление сигнала разложением по ортогональному базису функций Уолша

Среднеквадратическая ошибка представления сигнала усеченным рядомпо функциям Уолша составляет

.

Разумеется, разложение синусоиды в ряд Фурье по тригонометрическим функциям дает лучшую точность. Стопроцентная точность обеспечивается рядом, содержащим всего один член . Но разложение прямоугольной меандровой функции, такой как wal₁(q), в ряд Фурье

при удержании всего двух членов ряда обеспечивает гораздо худшую точность по среднеквадратической ошибке, а именно, как следует из , . Естественно, что спектр прямоугольной функции по функциям Уолша будет содержать только одну составляющую и представлять ею исходную функцию совершенно точно.

Этот пример иллюстрирует тот факт, что для каждого конкретного типа сигналов всегда есть такая базисная система, разложение по которой дает максимально компактное представление этого сигнала при заданной точности (или максимально точное представление при заданном числе членов разложения).

Функции Уолша достаточно просто генерируются цифровыми системами формирования и обработки сигнала, выполненными на современной элементной базе.