7.1.3. Свойства преобразование Фурье

Разложение сигнала в ряд по тригонометрическим функциям базируется на основных свойствах преобразования Фурье. Кратко эти свойства сводятся к следующим.

1. Сложение сигналов. Преобразование Фурье, определяющее спектральную плотность сигнала, является линейным. Поэтому при сложении сигналов ,,…, имеющих спектры,…, суммарному сигналубудет соответствовать спектр.

2. Сдвиг сигналов во времени. Сигнал произвольной формы, существующий на интервале времени отt₁ до t₂ и имеющий спектральную плотность , путем задержки его на времяt₀ без изменения формы превращается в сигнал , существующий на интервале отдо, без каких-либо видимых изменений формы по сравнению с. Однако сдвиг (смещение) во времени сигналана величинувызывает изменение фазовой характеристики спектрана величину. Таким образом, спектр задержанного сигнала можно записать в виде

.

Верно и обратное: если всем составляющим спектра сигнала дать соответствующий их частотам фазовый сдвиг, линейно связанный с частотой, то сигнал претерпит сдвиг во времени на. При этом амплитудно-частотная характеристика сигнала (модуль спектральной плотности) от положения сигнала на оси времени не зависит.

3. Смещение спектра сигнала. Разделение спектральной плотности сигналана две части, смещенные соответственно наи, обеспечивается умножением сигналана гармоническое колебание:

4. Произведение двух сигналов. Если сигнал представляет собой произведение двух сигналови, причем спектры этих трех сигналов описываются функциями,исоответственно, то спектр произведения двух сигналовиравен свертке их спектрови, взятой с коэффициентом, т.е.

.

Аналогично, произведению двух спектров соответствует результирующий сигнал, являющийся сверткой сигналови:

.

А так как

,

то иможно рассматривать соответственно как входной сигнали импульсную характеристикулинейной части прибора, обрабатывающего сигнал, аи– как спектральную плотность сигналаи передаточную характеристикулинейной части прибора.

Полезным может оказаться также соотношение между произведениями сигналов и их спектров, записанное в виде:

,

где - спектральная функция, комплексно – сопряженная функции.

Соотношения (3.33) и (3.36) часто используются при реализации процедур цифровой обработки сигналов. Благодаря применению алгоритмов БПФ они позволяют реализовать высокоскоростную обработку способом "быстрой свертки".

5. Свойство двойственности. Если есть преобразование Фурье функции, то преобразование Фурье сигнала, полученному в результате заменыw на t, равно . Иначе говоря, переменныеt и –w взаимозаменяемы, ч учетом масштабного множителя 2p.

6. Изменение масштаба времени. Пусть сигнал подвергся сжатию во времени враз. В результате получен сигнал. Спектральная плотность сжатого сигнала связана со спектральной плотностью исходного сигнала соотношением:

.

Таким образом, при сжатии сигнала в раз на временнoй оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается враз. Соответственно, при растягивании сигнала во времени, т.е. при, имеют место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

7. Дифференцирование и интегрирование сигнала. Если сигнал имеет спектр, то спектральная плотность его производнойбудет. Спектральная плотность интеграласоставит.

8. Для смещения спектра исходного сигналанапо частоте при одновременном изменении его ширины враз (при) необходимо сформировать сигнал.

Спектр этого сигнала имеет вид:

.

Если изменение длительности сигнала враз начать с момента времени, т.е. сформировать сигнал, то спектр этого сигнала будет иметь вид:

.

В этом случае спектр сформированного сигнала отличается от спектра исходного сигналапо модулю, по ширине и по наличию у каждой спектральной составляющей начального фазового сдвига, равного.

При цифровой обработке сигналов (ЦОС) приходится иметь дело с преобразованием Фурье сигнала, дискретизованного по времени. Хотя многие из теорем и свойств Фурье–анализа сигналов непрерывного времени верны и в случае дискретно-временного Фурье–анализа, прерывистость поступления анализируемых отсчетов , гдеуказывает на номер отсчета в последовательности, приводит все-таки к изменению формы утверждений одних теорем и к неприменимости других.

Показательна в этом отношении пара преобразований Фурье: периодическая импульсная последовательность во временнoй области и ее преобразование Фурье, которое, как оказывается тоже является периодической импульсной последовательностью, но уже в частотной области.

Пусть имеется бесконечная периодическая последовательность единичных импульсов (не путать с единичной функцией), показанная на рис. 7.7,а.

Рис. 7.7. Последовательность d-импульсов а) во временной области и ее спектр б)

Аналитическая форма представления последовательности d-импульсов во временной области:

иногда называется дискретизирующей последовательностью.

Каждый импульс в этой последовательности характеризуется следующими свойствами.

1. Единичный импульс – дельта функция Дирака – это предел, к которому стремится амплитуда импульса длительностьюt, имеющего единичную площадь, при стремлении длительности к нулю t®0, т.е.

при

.

2. При сдвиге единичного импульса по оси на величинуусловия (3.41) и (3.42) записываются в более общей форме:

при любом.

Здесь учтено, что – функция, которая равна нулю всюду, за исключением особой точки, где она обращается в бесконечность, и притом так, что интеграл от нее, распространенный на сколь угодно малый отрезок, заключающий особую точку, равен единице. Последнее означает, что и в этом случае площадь под-импульсом равна единице.

Единичному импульсу приписывают свойство четности

и симметрии относительно особой точки

, .

3. Для любой функции, ограниченной и непрерывной в точке, справедливы равенства

и

.

Это фильтрующее свойство -функции.

Если же в точке функцияимеет разрыв 1-го рода, то, где в скобках записана сумма пределов функции, определенных слева и справа от точки.

4. Спектр d-импульса равномерный на всех частотах с интенсивностью, равной единице, что следует из определения преобразования Фурье и из фильтрующих свойств d-функции

при =0.

5. Результатом умножения произвольной функции наявляется дельта-функция, площадь которой равна значению функциив точке:

Запись , вообще говоря, некорректна, хотя находит применение в литературе при определении выборочных значений сигнала.

Фильтрующее свойство дельта-функции позволяет представить аналоговый сигнал в виде суммы бесконечного числа примыкающих друг к другу дельта-импульсов, площади которых равны значениям аналогового сигнала в соответствующие текущие моменты времени, с помощью формулы

,

где подынтегральное выражение записано с учетом пункта 5 свойств.

Широкое использование -функции в приложениях объясняется, в частности, тем, что входные воздействия любой формы, которые практически равны нулю (достаточно малы) за пределами некоторого короткого временно́го интервала, вызывают, как правило, практически одинаковый выходной эффект, если их площади (интегралы по времени) равны. Это обстоятельство делает единичный импульс своего рода стандартным импульсом, которым при анализе воздействий на электрические цепи можно заменить любой короткий реальный импульс с единичной площадью. Иначе говоря, дельта-функция является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичной площадью. Однако, хотясчитается чисто математическим объектом, данное выше определение единичного импульса не может быть обосновано математически. Попытки строгого обоснования приводят к неоднозначности, несовместимости и «парадоксальности» поведения (в частности, к утверждению, что энергия-импульса бесконечно велика при исходном условии, что его площадь равна единице). Поэтому целесообразно, согласно отказаться от попыток определения значений, а учитывать только результаты его воздействия и свойства. Иначе говоря,относится к функциям, о которых надо знать, что они «делают», а не то, чем они «являются». Такие функции называются обобщенными функциями.

При рассмотрении цифровой обработки сигналов вместо функции зачастую более удобно пользоваться функцией единичного отсчета, которая определяется следующим образом:

где – целое число.

Задержанная функция единичного отсчета, определяется как

Дельта-функцию можно разложить в ряд Фурье на интервале, используя равенство:

Этим рядом пользуются при вычислении интегралов, содержащих -функцию, производя почленное интегрирование подынтегральной функции.

Например, в результате вычисления интеграла , в котором функцияразложена в ряд Фурье, после подстановки вместоправой части выражения , получается

,

где

,

,

,

причем

.

В приложениях применяется усеченная последовательность единичных импульсов (пачка), число которых ограничено (рис. 2.14).

Применим преобразование Фурье к последовательности единичных импульсов . С этой целью выделим из бесконечного числа импульсов функциитолькоимпульсов, расположенных симметрично относительно начала координат, как показано на рис. 7.8,а.

Рис. 7.8. Усеченная последовательность единичных импульсов

Преобразование Фурье такой усеченной последовательностиравно

Как видно, преобразование Фурье выражается суммойкомплексных экспоненциальных функций. Огибающуюможно найти, представив сумму экспонент в виде первыхчленов геометрической прогрессии со знаменателем, равным. После выполнения преобразований

,

Огибающая изображена на рис. 7.8,б.

Из формулы (3.55) следует, что максимумы лепестков огибающей спектра со значениямирасположены на частотах, кратных, а ее нулевые значения наблюдаются на частотах, кратных частоте.

Если теперь увеличивать число импульсов так, чтобы , а, то согласно , максимумы лепестковбудут возрастать, а их ширина – уменьшаться. В результате огибающие спектральных составляющих приближаются по форме к единичным импульсам. При этом для любого изимпульсов площадькаждого из лепестков останется равной

.

Здесь следует иметь в виду, что все частные суммы при любых , равны нулю, а поэтому

.

Таким образом, бесконечная (периодическая) последовательность дельта-импульсов во временно́й области в процессе преобразования Фурье переходит в периодическую последовательность дельтаобразных спектральных составляющих, как это показано на рис. 7.8, б, и символически выражается парой преобразований Фурье

.

Единичный импульс иногда записывают в виде так называемой функции единичного отсчета, определяемой для всех формулами и . Последовательность единичных отсчетов, где, аналогична рассмотренной последовательности единичных импульсов. В свою очередь, последовательность единичных отсчетов формально эквивалентна (хотя бы в части следования во времени) последовательности выборок реального сигнала. Значит, следует ожидать, что при Фурье – преобразованиях равномерно разнесенных друг от друга выборок также будет наблюдаться периодическая повторяемость основного спектра, определяемого формой импульсов в выборке и ее продолжительностью. Поэтому нельзя исключить возможность частичного наложения повторяющихся спектров. Такие наложения исказят характеристики сигнала, получаемые по результатам анализа его в частотной области, и снизят точность воспроизведения сигнала по его спектру.

Обратим внимание на следующую особенность преобразования Фурье усеченной периодической последовательности единичных импульсов. Как следует из , и видно на рис. 7.8, б, максимумы всех лепестков спектра одинаковы, равно как одинакова и их форма. Это объясняется тем, что единичные импульсы в рассматриваемой последовательности не имеют длительности (по определению). То, что сами лепестки имеют определенную (не нулевую) ширину, является следствием конечной длительности пачки единичных импульсов усеченной последовательности.

Реальные импульсные последовательности наряду с тем, что они всегда ограничены по длительности, к тому же состоят из импульсов конечной длительности. Для оценки того, как повлияет конечность ширины элементарных импульсов в их усеченной последовательности на характеристики ее спектра, рассмотрим следующий пример, раскрывающий особенности дискретизации сигнала в аналогово-цифровых преобразователях.

Пусть формирование выборок принимаемых сигналов осуществляется с помощью электронного ключа. Соответствующую операцию удобно рассматривать как умножение сигнала, принимаемого приемником, на вспомогательную периодическую последовательность достаточно коротких, но с неравной нулю длительностью тактовых импульсов. После дискретизации любого реального сигнала естественным образом формируется усеченная последовательность отсчетов в виде импульсов с разными амплитудами, величины которых зависят от значений исходного сигнала в интервалы времени взятия отсчетов.

Тактовые импульсы обычно полагают прямоугольными импульсами с одинаковой длительностью , малой по сравнению с шагом дискретизации. В данном случае также присутствует идеализация, так как сформировать идеально прямоугольные импульсы невозможно, но это все же гораздо меньшая идеализация, чем при представлении тактовых импульсов последовательностью единичных импульсов.

Пусть в результате дискретизации аналогового сигнала получен дискретный сигнал

.

Сигналы,и дискретизирующие последовательностииизображены на рис. 7.9.

Рис. 7.9. Сигналы ,и дискретизирующие последовательностии

Если известен вид спектральной плотности исходного аналогового сигнала, можно найти спектр дискретизированного сигнала. Дискретизирующая последовательность, представляющая собой периодическую последовательность прямоугольных однополярных импульсов, записывается с использованием ряда Фурье в виде:

,

где – амплитуда тактового импульса;– угловая частота следования тактовых импульсов.

Представив и введя обозначение, можно получить

.

С учетом этого выражения примет вид

.

Спектр сигнала можно оценить непосредственно из без выполнения каких-либо преобразований. Ясно, что первому слагаемому в скобках правой части соответствует спектральная плотностьисходного аналогового сигнала. Далее, каждому из слагаемых произведений, согласно теореме о смещении спектра, соответствует спектральная плотность, определяемая соотношением. С учетом сказанного, искомая спектральная плотность равна

.

Поскольку ,можно внести под знак суммирования и окончательно записать

.

Из следует, что спектр дискретизированного сигнала включает в себя последовательность смещенных один относительно другого наспектровисходного сигналатаких, что их интенсивность убывает по закону.

Если шаг выбран таким, что, где- наивысшая верхняя частота в спектре исходного сигнала, то смещенные спектры,, не будут перекрываться и, следовательно, могут быть разделены фильтрами, настроенными на соответствующие частоты. Для того чтобы упростить создание таких фильтров, а также при необходимости обеспечения высокой точности воспроизведения сигнала по имеющимся выборкам, величинунадо брать существенно меньшей, чем.

Выражение указывает на то, что с уменьшением лепестки спектра убывают медленнее. В пределе, при, спектр приобретает строго периодическую структуру (уровень у всех лепестков становится одинаковым, но стремится к нулю). Но если одновременно с уменьшениемувеличивать, добиваясь, то последовательностьперейдет, а- в последовательность единичных импульсов со взвешенными площадями (с весами, равными), т.е. приможно записать:

,

а

.

Соответствующие последовательности изображены на рис. 7.9.

Спектр дискретизированного сигнала в таком случае принимает вид

,

т.е. продолжает оставаться непрерывным в полосах шириной около каждой спектральной составляющей частоты.

Представление дискретизированного сигнала в виде позволяет выразить спектральную плотность через совокупность временны́х отсчетовбез обращения к спектруисходного сигнала, применив к преобразование Фурье при:

.

Такая возможность существенно упрощает спектральный анализ дискретных сигналов.

Спектр дискретизированного сигнала отличается от спектра непрерывного сигнала тем, что он периодичен по частоте. При цифровой обработке сигналов это создает проблему наложения спектров. Игнорирование эффекта наложения спектров может стать причиной появления существенных ошибок в процессе такой обработки.