10.2. Основные свойства вейвлет-анализа

Признаки, которые должна иметь функция, чтобы стать вейвлетом, следующие.

1. Ограниченность. Ограниченной считается функция, квадрат нормы которой конечен, т.е.

.

2. Локализация. В вейвлет-преобразовании (в отличие от преобразования Фурье) используется локализованная и во времени, и по частоте исходная функция. Функция считается локализованной, если выполняются условия: существует такое , что

и при,

где - сколь угодно малая наперед заданная величина. Здесь. В частности, дельта-функцияи гармоническое колебание не удовлетворяют необходимому условию одновременной локализации во временнoй и частотной областях, а потому не могут быть вейвлетами.

3. Нулевое среднее. Функция должна осциллировать около нулевого значения (быть знакопеременной) при изменении ее во времени и иметь нулевую площадь

.

Равенство нулю площади функции приводит к тому, что Фурье-преобразование ееравно нулю при. Само преобразование имеет вид амплитудно-частотной характеристики полосового фильтра. Задавая различные значения, можно получить «набор полосовых фильтров», где, по сути, определяет период осцилляции, т.к..

Если в качестве вейвлета будет выбрана функция, для которой справедливо равенство

,

функция называется вейвлетом -го порядка. Такие вейвлеты обеспечивают анализ высокочастотной структуры сигнала при одновременном подавлении его медленно изменяющихся составляющих (подчеркивают особенности сигнала).

4. Автомодельность. Все вейвлеты конкретного семейства имеют то же число осцилляций, что и исходный вейвлет, так как получены из него масштабными преобразованиями () и сдвигом (). Это обеспечивает самоподобие вейвлет-преобразования.

Примеры некоторых базовых вейвлетов даны в табл. 10.1.

Широкое распространение среди вещественных базисов получили вейвлеты на основе производных функции Гаусса вида . Это связано с тем, что функция Гаусса имеет наилучшие среди других функций показатели локализации как во временно́́й, так и в частотной областях. На рис. 3.14 изображены такие вейвлеты первых четырех порядков и модули их спектральной плотности. Вейвлет первого порядка получен из первой производной функции Гаусса – это WAVE-вейвлет с равным нулю нулевым моментом. Вторая производная дает MHAT-вейвлет («мексиканская шляпа») с равными нулю нулевым и первым моментами. Данный вейвлет обеспечивает более высокое разрешение, чем WAVE-вейвлет. Гауссовы вейвлеты обладают следующими свойствами.

1. Четность каждого вейвлета совпадает с четностью его номера.

2. Любой -ый вейвлет имеет ровнонулей и стремится к нулю при возрастании абсолютного значения аргумента.

3. Вейвлеты более высокого порядка имеют больше равных нулю моментов и позволяют извлечь из сигнала информацию о его особенностях более высокого порядка.

4. Производная вейвлета -го порядка совпадает с точностью до знака с вейвлетом-го порядка. Это означает, что экстремумы вейвлета-го порядка совпадают с нулямипроизводной функции Гаусса.

5. Обозначив вейвлет -го порядка через, можно записать для его площади на интервале:, а также найти, что относительная площадь вейвлетадостигает единицы при. Это означает, что при выполнении расчетов достаточно ограничиться интегрированием выражений, включающих гауссов вейвлет-го порядка в качестве сомножителя, в пределах от 0 до.

Немаловажно то, что гауссовы вейвлеты разных порядков имеют приблизительно одинаковую площадь на любом равном интервале. Это позволяет выбрать общий для нескольких вейвлет-преобразований масштабный коэффициенти совместно применять, например, вейвлеты с 1-го по 4-ый порядок для вейвлет-преобразования одного и того же сигнала. Такое совместное использование разных вейвлетов существенно повышает точность вейвлет-анализа.

Это связано с тем, что каждому такому вейвлету соответствует своя область наибольшего значения на одном и том же компактном носителе и своя область наибольшей спектральной интенсивности при заданном значении параметра . Следствием является более равномерный учет истинных значений преобразуемого сигнала и, как результат, меньшая зависимость результата преобразования от формы вейвлета.

Простейшим примером ортогонального вейвлета является функция Хаара (HAAR-вейвлет в табл. 10.1). Применительно к нему на рис. 10.6 показан характер дискретизации параметрови: при разныхширинаразлична, и изменяется скачками при смене. Здесь принято, что,;,. Заданный интервал оси времени просматривается в процессе сдвига вейвлета на выбранное значение. Выборомобеспечивается покрытие заданного интервала оси времени «растянутыми» вейвлетами так же, как это имеет место для исходного вейвлета ().– аппроксимирующий вейвлет,– анализируемый сигнал.

Рис. 10.6. Дискретизация параметров HAAR-вейвлета

Из видно, что прямое вейвлет-преобразование содержит информацию и об анализируемом сигнале, и об анализирующем вейвлете. Это связано с тем, что некоторые свойства вейвлет-преобразования не зависят от выбора анализирующего вейвлета. Такими свойствами являются.

24. Линейность. Для сигнала

.

25. Инвариантность относительно сдвига, т.е.

.

26. Инвариантность относительно изменения масштаба. Растяжение (сжатие) масштаба сигнала приводят также к растяжению (сжатию) его в плоскости вейвлет-преобразования , а именно

.

27. Особенность дифференцирования:

,

то есть, когда надо проигнорировать крупномасштабные составляющие и проанализировать составляющие (особенности) высокого порядка или выделить мелкомасштабные вариации сигнала , достаточно продифференцировать нужное число раз либо вейвлет, либо сам сигнал. Так как часто сигнал задан цифровыми отсчетами, а анализирующий вейвлет – формулой, то данное свойство оказывается весьма полезным из-за невозможности дифференцирования цифровых отсчетов.

5. Масштабно-временнaя локализация, обусловленная хорошей локализацией элементов базиса вейвлет-преобразования при подвижном частотно-временно́́м окне.

Изменение масштаба функцииизменяет ширину ее Фурье-спектра (например, увеличениеприводит к сужению такого спектра). Изменение ширины спектра вейвлетов позволяет с их помощью выявлять различие в характеристиках сигнала на разных частотах (в интервалах частот), а за счет сдвига анализировать сигнал в разных точках на всем исследуемом интервале его существования. Это обеспечивает, в частности, возможность детального анализа нестационарных сигналов. Все выглядит так, как если бы использовалось разное увеличение на разных участках частот. Поэтому вейвлет-анализ называют еще «математическим микроскопом». Параметр сдвигафиксирует точку фокусировки, масштабный коэффициент– увеличение, а выбранный вейвлет – оптические качества, например, разрешающую способность «микроскопа». К настоящему времени способность вейвлет-анализа обнаруживать внутреннюю структуру существенно неоднородного процесса и изучать его локальные свойства продемонстрирована на многих примерах.

На рис. 10.7 показана схема вейвлет-анализа сигнала по типу «микроскопа» в окрестности момента временис использованием вейвлетов одного вида («мексиканская шляпа»), но разных масштабов (с разными компактными носителями), задаваемых параметром. Изобразить так же наглядно вейвлет-спектрограмму сигнала не удается – это под силу только компьютеру, да и то с использованием условных обозначений, различной раскраски и т.п.

Рис. 10.7. Схема вейвлет-анализа сигнала

Как видно на рис. 10.7 вейвлеты с разными компактными носителями выделяют для анализа участки сигнала конечной длительности с центром в точке . В частотной области при этом осуществляется фильтрация частотных составляющих спектра сигнала своего рода фильтрами, характеристики которых совпадают с характеристиками Фурье-спектров вейвлетов, а максимумы смещаются при изменении ширины компактного носителя. Очевидно, что для анализа в реальном времени сигнал надо одновременно подавать в каналы с разномасштабными вейвлетами.

Вейвлет-преобразование позволяет сделать определенные выводы о сигнале по виду плотности его энергии вейвлет-преобразования

,

характеризующей энергетическую плотность анализируемого сигнала в области. В частности, по ней можно определить локальную плотность энергии в конкретной точке. В принципе, свойство линейности позволяет выполнять исследование временно́́й динамики обмена энергией между составляющими сигнал компонентами в любой фиксированный момент времени.

Вейвлет-анализ дает возможность изучать даже самые малые изменения в сигнале, когда требуется, например, выявить слабые вариации на фоне крупной структуры. Правда, отсутствуют сведения о необходимых для этого вычислительных и временны́́х затратах. Несомненно, однако, что они будут значительными.

Представляется целесообразным еще раз сопоставить возможности классического преобразования Фурье с возможностями недавно предложенных вейвлет-преобразований.

При классическом преобразовании Фурье сигналы разлагаются с использованием в качестве базисных функций косинусов и синусов или комплексных экспонент. Эти базисные функции имеют «протяженность» вдоль всей оси времени, т.е. их полагают начинающимися в бесконечно удаленном прошлом и никогда не заканчивающимися. В связи с этим, преобразование Фурье имеет ряд принципиальных ограничений и недостатков, как с точки зрения практического применения, так и с позиций точного представления произвольных сигналов. К таким недостаткам относятся следующие:

1. Обеспечивая хорошую локализацию по частоте, преобразование Фурье не может одновременно дать высокое разрешение во времени. Так, даже для одной заданной частоты преобразование Фурье требует знания сигнала на всей временно́́й оси от до, что возможно только теоретически. Любая попытка ограничить длительность сигнала некоторым значимым интервалом немедленно приведет к ухудшению локализации в частотной области.

Поскольку частоты в базовой системе гармонических колебаний изменяются скачком, а сами колебания математически определены на временно́́м интервале , то они принципиально не позволяют учесть, например, непрерывное изменение частоты сигнала во времени, т.е. нестационарность сигнала.

2. Локальные особенности сигнала в виде разрывов, ступенек, пиков и т.п. из-за «размазывания» их энергии по всем гармоникам могут давать только составляющие спектра очень малой амплитуды. По таким составляющим обнаружить указанные особенности и, тем более, выявить их характер и момент проявления практически невозможно. Как следствие, воспроизведение сигнала с особенностями производится с большими ошибками в точках разрывов.

3. Скачкообразный характер изменения частот гармонических составляющих при преобразовании Фурье затрудняет точное восстановление сигнала из-за проявления эффекта Гиббса.

4. Получение о сигнале высокочастотной информации, которая, собственно говоря, и обеспечивает хорошую точность его воспроизведения, требует извлечения ее с приемлемым качеством на относительно малых временны́́х интервалах, а не по истечении времени существования всего сигнала. При этом извлечение низкочастотной информации, напротив, должно осуществляться из всего сигнала. Особенно большие трудности из-за этого противоречия возникают при анализе нестационарных сигналов.

Преимущества вейвлет-преобразования перед преобразованием Фурье сводятся к следующим:

1. Локальность вейвлетов в сочетании с их частотно-временно́́й подвижностью обеспечивает одинаково хорошее выделение и низкочастотных и высокочастотных характеристик сигналов. Имеется возможность адаптивного к сигналу выбора вида вейвлета и его параметров. У любого вейвлета с ростом параметра увеличивается разрешение по частоте и уменьшается разрешение по времени, а с уменьшением его, наоборот, уменьшается разрешение по частоте и увеличивается по времени. Это обеспечивает детальный анализ локальных свойств сигналов путем изменения параметра.

2. Вейвлет-преобразование нечувствительно к фазовым ошибкам. Фурье-преобразование к ним чувствительно.

3. Если вейвлет-коэффициенты содержат случайные ошибки, то они действуют на восстанавливаемый сигнал только локально вблизи точки возмущения. Преобразование Фурье распространяет такие ошибки по всему восстанавливаемому сигналу.

При всем этом, вейвлет-преобразование не является заменой традиционного преобразования Фурье и не умаляет достоинств и значимости последнего при анализе стационарных процессов. Эти преобразования дополняют друг друга.