7.1.1. Примеры спектров периодических сигналов

Спектр бесконечной последовательности прямоугольных импульсов, графическая модель которой представлена рис. 7.2.

Рис. 7.2. Бесконечная последовательность прямоугольных импульсов

может быть определен из с использованием :

,

где – скважность последовательности импульсов.

Величина представляет собой среднее значение (постоянную составляющую) сигналаs(t).

Косинусная составляющая n-ной гармоники равна

,

а синусной

,

поэтому

.

Используя ряд можно преобразовать к виду

Если начало координат на рис. 2.8 совместить со срединой импульса, аналитическая модель импульсной последовательности будет представляться четной функцией времени. При этом, очевидно, амплитуды синусных составляющих разложения сигнала s(t) в тригонометрический ряд обратятся в нуль и преобразуется к виду

.

Амплитудный а) и фазовый б) спектры последовательности прямоугольных импульсов, в соответствии с , имеет вид как на рис. 7.3.

Рис. 7.3. Спектр последовательности прямоугольных импульсов

Как видно из , амплитуды гармонических составляющих спектра последовательности прямоугольных импульсов изменяются с ростом номера n по закону

.

Это огибающая амплитудного спектра. Первый раз огибающая спектра обращается принимает нулевое значение в точке . Поэтому протяженность частотного интервала, равную, принимают за ширину спектра последовательности прямоугольных импульсов. В циклических, а не в угловых частотах, ширина спектра обратна длительности импульса. В этой полосе содержится ровноспектральных составляющих. По мере укорочения импульсов и увеличения скважности амплитуды гармоник выравниваются. В пределе приt®0, когда сигнал превращается в последовательность d-импульсов следующих с периодом Дирака, спектр, очевидно, превращается в последовательность d-импульсов на оси частот, расположенных с интервалов .

В частном случае меандровой последовательности прямоугольных импульсов, у которых длительность импульсов равна длительности пауз, t=Т, а скважность, соответственно, равна Q=2, спектр, как следует из содержит только нечетные гармоники частоты следования импульсов. Рис.7.4 иллюстрирует сходимость суммы гармонических колебаний кратных частот к последовательности прямоугольных импульсов.

Рис.7.4. Сходимость суммы гармонических колебаний к последовательности прямоугольных импульсов

В другом частном случае треугольных импульсов, как на рис. 7.5.

Рис.7.5. Последовательность треугольных импульсов

Та же методика определения амплитуд гармонических колебаний – спектральных составляющих последовательность треугольных импульсов – позволяет представить тригонометрический ряд сигнала в форме

.

Как видно, в спектре присутствуют только нечетные гармоники. Это естественно следует из четности функции s(t). Кроме того, амплитуды спектральных составляющих убывают не как n^-1 в спектре меандровой последовательности, а заметно быстрее, как n^-2. Этот эффект можно объяснить следующим рассуждением. Высшие гармоники спектра – быстро изменяющиеся функции времени. Именно они отвечают за точность аппроксимации быстрых изменений сигнала. Как раз такие изменения происходят на фронтах нарастания и спада прямоугольных импульсов. Треугольные импульсы меняются гораздо медленнее, поэтому и амплитуды гармонических составляющих частотного спектра треугольных импульсов убывают быстрее.

Самый гладкий периодический сигнал – гармоническое колебание. Такое колебание должно иметь самый узкий спектр. Действительно, частотный спектр синусоидального колебания содержит всего одну спектральную составляющую на частоте этого колебания и точно с его амплитудой.