Предисловие

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов первого курса технических специальностей при изучении раздела «Векторная алгебра»

Данное пособие представляет собой краткий конспект лекций по данной теме. Оно содержит материал, необходимый для дальнейшего изучения как математики так и других специальных дисциплин.

В пособии даются методические рекомендации к решению большого количества задач.

В конце конспекта помещен довольно большой блок задач для самостоятельной работы студентов дома.

В особый пункт вынесены вопросы, которые предлагаются студентам на экзамене по высшей математике.

Мы надеемся, что данное пособие поможет студентам при изучении данной темы и будет способствовать более глубокому изучению курса высшей математики и смежных дисциплин.

1. Векторы и линейные операции над ними

1.1. Основные понятия

1. Величины бывают скалярными и векторными. Скалярные величины определяются своими численными значениями, например, масса, время, длина, площадь, объём и др. Такие величины как ускорение, сила, момент силы и др. имеют две характеристики численное значение и направление и называются векторными или векторами. Для обозначения вектора используют отрезок, на котором указано направление, т.е. направленный отрезок, его обозначают или, где точкаесть начало вектора, точкаконец вектора(рис.1). Начало вектора будем называтьточкой приложения.

Вектор, для которого определены только направление и длина, но не зафиксирована точка приложения, называется свободным вектором. Такой вектор всегда можно переместить с помощью параллельного переноса в требуемую точку пространства. Если точка приложения вектора зафиксирована, то такой вектор называют связанным. В дальнейшем, если это не оговорено специально, будем пользоваться понятием свободного вектора.
2. Определение. Длиной или модулем вектора называется длина
	отрезка АВ и обозначается или. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается или просто 0.

Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом направления. Обозначается .

Вектор имеет длину, равную единице,

и сохраняет направление вектора .

Орты на плоскости изображены на рис.2

3. Определение. Два вектора называются равными, если они имеют

одинаковую длину и одинаковое направление. На рис.3 изображён ромб

со стороной, равной 1. Тогда , но.

Векторы иназываютсяпротивоположными. Сумма противоположных векторов равна нулю, т.е.. Замечание:или.

4. Определение. Два вектора или более, лежащие на параллельных

прямых или на одной прямой, называются коллинеарными. Обозначается . На рис.3или,,

и т. д.

Определение. Так как направление нулевого вектора не определено, то он коллинеарен любому вектору.

Определение. Два вектора называются ортогональными, если они лежат на взаимно перпендикулярных прямых. Обозначается .

Определение. Три или более векторов, лежащих в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными. На рис.3 все векторы компланарны. Нулевой вектор компланарен любой системе компланарных векторов.