2.3. Составляющая вектора на оси. Связь между составляющей и проекцией

Пусть на осизадан векторединичной длины (орт), идущий по положительному направлению оси,проекция векторана ось,составляющая векторана ось.
1.	Вектор , следовательно .
2.	Вектор , следовательно .
3.	Так как , следовательно, .
Составляющая вектора на ось есть вектор равный произведению проекции вектора на ось на орт направления.

2.4. Координаты вектора в дск

Вектор ,, тогда,

т.е. . Проекции вектора на координатные оси равны:

Z

ОА=x, ОВ=y, ОС=z. Составляющие векторана оси:, тогда. Выражение

называется разложением вектора по базису , где называются координатами вектора , они жекоэффициенты в разложении или проекции вектора на координатные оси. Записывают или. В дальнейшем будем использовать запись .

x

Замечания:

координатные ортыимеют координаты;

векторы ,,удовлетворяют условиям:

1) векторы попарно перпендикулярны; 2) векторылинейно независимы так как . Следовательно, векторы,,образуют ортонормированный базис трехмерного пространства;

любой вектор разлагается по базисуединственным

образом: .

2.5. Радиус-вектор точки. Координаты точки в пространстве

Определение. Вектор , идущий из начала координат в точкуМ, называется радиус-вектором точки М, . Координатами точки М будем называть координаты её радиус- вектора или проекции на координатные оси, т. е..

2.6. Координаты вектора

		Пусть в базисе заданы точки и. Тогда ,. .
Чтобы найти координаты вектора надо из координат конца вычесть координаты начала.
Замечание 1. Проекцией вектора на осьбудем называть число, равноеи записывать. Аналогино: ,

2.7. Линейные операции над векторами

Если в пространстве задан базис и в нём векторы и, то выполнение линейных операций над векторами сводится к выполнению тех же операций над

их координатами: ,

если действительное число, то .

2.8. Модуль вектора через координаты

Пусть вектор задан своими координатами.
	Тогда вектор является диагональюпрямоугольного параллелепипеда с длинами сторон. Применяя дважды теорему Пифагора, получим: ,

2

.9. Расстояное между двумя точками

Пусть заданы точки и. Вектор , следовательно, .

2.10. Деление отрезка в данном отношении

Пусть на прямой задан отрезокАВ, где ,, и точка, лежащая внутри отрезкаАВ. Тогда, если , то говорят, что точкаделит отрезокАВ в отношении внутренним образом. Следовательно,и. Отсюда имеем , ,,
Аналогично получаем: Если , то точкасередина отрезка, тогда координаты середины отрезка вычисляются по формулам:
Если, то точкасовпадет с точкойA. Если точкане лежит внутри отрезка, то. В этом случае векторы, следовательно,, векторы сонаправленыи =.

11. Условие коллинеарности двух векторов

Условие коллинеарности двух векторов записывается в виде .

Если в пространстве задан базис и в нём векторы и ,

то что равносильно записи:

Объединяя последние равенства, получим , т.е. условие коллинеарности векторов:

Замечание. Если два вектора, заданные своими координатами, илинейно зависимы, то, то их координаты пропорциональны, т.е.и наоборот, если координаты пропорциональны, то векторы линейно зависимы.