Смешанное произведение трёх векторов и его приложения
Задача 12. Даны
координаты вершин параллелепипеда
.
Найти: 1) объём параллелепипеда; 2) высоту,
опущенную из вершины C;
3) угол между вектором
и гранью, в которой лежат векторы
и
.
Решение.
Определим векторы
.
1
).
.
2).
?
,
.
.
Тогда
.
|
|
Для этого определим
угол между вектором
|
.
и вектором
,
где
,
т.е.
.
Тогда
.
.
Угол
,
т.е.
.
Задача 13. Проверить
лежат ли четыре точки
в одной плоскости.
Решение.
Если точки лежат в одной плоскости, то
и векторы, например,
лежат в одной плоскости, т.е. компланарны,
следовательно, их смешанное произведение
равно 0. Определим векторы:
,
,
.
С
оставим
определитель:
Определитель
равен нулю, следовательно, векторы
линейно зависимы. Найдём линейную
зависимость, например, вектора
от
и
.
.
.
Тогда
.
Получим
.
Тогда
.
7. Индивидуальные домашние задания
Индивидуальные домашние задания выполняется по графику, разработанному кафедрой «Высшая математика», и соответствуют обязательной части практической работы второго раздела программы первого семестра.
Решения задач необходимо представлять в письменном виде в отдельных тетрадях. Нумерация задач должна совпадать с их нумерацией в задании.
В работе должны быть указаны условия задач и развёрнутое решение с пояснениями.
Защита ИДЗ для студентов дневной формы обучения проводится в виде контрольных работ на практических занятиях или на консультациях.
Во время защиты студент должен ответить на контрольные вопросы, пояснить решения задач из заданий, решить аналогичные задачи.
Повторная защита для студентов дневной формы обучения проводится на консультациях.
Студенты, не защитившие ИДЗ повторно, защищают их по графику,
составленному преподавателем.
Студенты заочной формы обучения сдают ИДЗ на проверку в межсессионный период.
Защита ИДЗ для студентов заочной формы обучения проводится на консультациях и в экзаменационную сессию.
|
№ |
Тема |
для ДО |
для ЗО |
|
1 |
Линейные операции над векторами |
Задачи 1, 2 |
Задачи 1, 2 |
|
2 |
Скалярное произведение двух векторов и его приложения |
Задачи 3, 4, 5 |
Задачи 4, 5 |
|
3 |
Векторное произведение двух векторов и его приложения |
Задачи 6, 7, 8 |
Задачи 7, 8 |
|
4 |
Смешанное произведение трёх векторов и его приложения |
Задачи 9, 10 |
Задачи 9, 10 |
З а д а ч а 1
1. Дан параллелограмм
ABCD.
Доказать, что
,
где
произвольная точка
пространства.
2. В параллелограмме
ABCD:
точка пересечения диагоналей. Найти
,
если а)
,
б)
,
в)
,
г)
.
3. В ромбе ABCD
диагонали
,
.
Разложить по этим двум
векторам векторы
.
4. В треугольнике
PQR:
,
точка
середина стороныQR.
Выразить вектор
через векторы
и
.
5. На сторонах ОА
и ОВ
в прямоугольнике ОАСВ
отложены единичные векторы
и
.
Выразить векторы
и
через векторы
и
,
если
.
6. В треугольнике
АВС:
М
– точка пересечения медиан треугольника,
.
Разложить
и
по векторам
и
.
7. В параллелограмме
ABCD
точки K
и М
середины сторонBC
и CD,
.
Выразить векторы
и
через векторы
и
.
8. Точка O
является центром тяжести (точка
пересечения медиан) треугольника АВС.
Доказать, что
.
9. В четырёхугольнике ABCD диагонали в точке пересечения делятся пополам. Доказать, что этот четырёхугольник параллелограмм.
10. Четырехугольник
ABCD
– параллелограмм, O
– точка пересечения диагоналей,
и
середины параллельных сторонBC
и AD
соответственно. Построить векторы: а)
,
б)
,
в)
,
г)
,
д)
,
е)
.
11. В треугольнике
АВС:
,
,
точки
середины сторонАВ,
BC
и АС
соответственно. Выразить через векторы
и
медианы
треугольника
.
12. В треугольнике
вектор
и вектор
.
Построить каждый из следующих векторов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
13. По данным векторам
и
построить каждый из следующих векторов:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
14. Какому условию
должны удовлетворять векторы
и
,
чтобы вектор
делил пополам угол между векторами
и
?
15. Три силы
,
приложенные к одной точке, имеют взаимно
перпендикулярные направления. Определить
величину их равнодействующей, если
известно, что
,
.
16. В тетраэдре
ABCD:
,
,
,
точка
центр тяжести треугольникаАВС.
Выразить вектор
через векторы
,
,
.
17. Даны точки A,
В и С.
Построить точку
так, чтобы
.
18. В треугольнике
АВС
проведена биссектриса AD.
Выразить вектор
через векторы
и
.
19. В трапеции ABCD
точки
и
середины оснований
и
,
точка пересечения диагоналей. Выразить
векторы
и
через
и
.
20. В трапеции ABCD
точки
и
середины оснований
и
,
точка пересечения диагоналей. Выразить
векторы
и
через
и
.
21. В трапеции ABCD
точка пересечения диагоналей,
и
.
Выразить векторы
и
через векторы
и
.
22. В трапеции ABCD
точка пересечения диагоналей,
и
.
Выразить векторы
и
через векторы
и
.
23. В произвольном
треугольнике АВС
точки
середины
сторон
и
.
Выразить векторы
,
и
через векторы
и
.
24. В треугольнике
проведена средняя линия
параллельная стороне
.
Выразить векторы
и
через векторы
и
.
25. Пусть ABCD
– параллелограмм, O
точка пересечения его диагоналей.
Полагая
и
,
выразить через
и
векторы
,
,
,
.
26. Точка
центр тяжести треугольникаАВС.
Выразить: 1) вектор
через
и
;
2) вектор
через векторы
и
.
27. В тетраэдре ABCD
точка
лежит на ребре
и делит отрезок
в отношении
,
,
,
.
Выразить векторы
,
,
через векторы
,
,
.
28. В тетраэдре ABCD
точка
делит сторону
в отношении
.
Выразить векторы
,
,
через векторы
,
,
.
29. Дан треугольник
АВС и
произвольная точка
.
середины сторон
и
соответственно. Доказать, что
равнодействующая сил
,
и
равна равнодействующей сил
,
и
.
30. В параллелограмме
ABCD
и
середины противоположных сторон
и
,
точка пересечения диагоналей. Выразить
векторы
,
,
,
через векторы
и
.