1.2. Линейные операции над геометрическими векторами

Линейными операциями над векторами называют операцию сложения векторов и операцию умножения вектора на скаляр (число).

1. Сложение векторов.

а) Правило треугольника: . Суммой векторовиназывается вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго или.

б) Правило многоугольника или .
в) Если векторы образуют замкнутый многоугольник, как показано на рисунке, то сумма векторов равна нулю:
г) Правило параллелограмма:. Под суммой двух векторов
		с общим началом понимается вектор , выходящий из общего начала и совпадающий по длине и направлению с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.
2. Вычитание векторов.
Под разностью векторов ипонимается вектор, который в сумме с вектором дает вектор, т.е.. Другими словами, это вектор, идущий из конца «вычитаемого» вектора в конец «уменьшаемого» (вторая диагональ параллелограмма), . Выражение можно записать иначе. Эту формулу читают так: чтобы из векторавычесть векторнадо к векторуприбавить вектор противоположный вектору.
3. Умножение вектора на число.
	При умножении вектора на число длина вектора умножается на это число, а направление не изменяется. При умножении вектора на числодлина умножается на число, а направление изменяется на противоположное.

1.3. Свойства линейных операций

1^0 коммутативность сложения;	2^0 ассоциативность сложения;
3^0существует нулевой вектор (нейтральный элемент), такой что ;	4^0 существует противоположный вектор, такой что ;
5^0 ассоциативность относительнои;	6^0 ;
7^0 гделюбое числодистрибутивность умножения на число относительно сложения;	8^0дистрибутивность сложения относительнои.

Геометрические векторы, для которых выполняются две операции: 1) сложение векторов; 2) умножение векторов на действительное число, удовлетворяющие свойствам 1⁰8⁰, образуют векторное пространство.

1.4. Линейная зависимость между векторами

Определение. Результат конечного числа линейных операций называется линейной комбинацией векторов . Числа называются коэффициентами линейной комбинации. В равенстве векторявляется линейной комбинацией векторов или вектор линейно выражается через векторы.

Например, вектор является линейной комбинацией векторовс коэффициентами 3, 4,7 соответственно.

Определение. Векторы называются линейно зависимыми, если существуют числа , среди которых хотя бы одно число отлично от нуля, и такие, что выполняется:.

Определение. Векторы называются линейно независимыми, если равенство выполняется только при .

Замечания:

1) если хотя бы один из векторов нулевой, то векторы линейно зависимы;

2) если хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных векторов, то векторы линейно зависимы;

3) два вектора линейно зависимыкогда они коллинеарны;

4) три вектора линейно зависимыкогда они компланарны.

Определение. Базисом линейного пространства называется упорядоченная система векторов этого пространства, которая удовлетворяет двум условиям:

а) векторы системы линейно независимы;

б) всякий вектор пространства является линейной комбинацией векторов системы .

Число векторов базиса называется размерностью пространства. Пространство, в котором базис состоит из векторов, называется мерным,обозначается . Векторы называютсябазисными. Любые n линейно независимых векторов этого пространства образуют его базис. Если задан базис, то каждый вектор имеет единственное разложение по этому базису.

Определение. Пусть n=3, тогда трехмерное векторное пространство. Базисом в пространственазывается любая упорядоченная тройка некопланарных векторов. Любой векторэтого пространства можно разложить по данному базису единственным образом, т.е..

Определение. Если n=2, то двумерное пространство (плоскость). Базисом на плоскости называеся любая упорядоченная пара неколлинеарных векторови любой вектор этого пространства можно разложить по данному базису единственным образом, т.е..

Определение. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой. Пусть базис состоит из одного вектораТогда любой вектор этой прямой будет коллинеарен вектору,а это означает, что будет выполняться равенство. Это равенство означает разложение векторапо данному базису.

Замечание.

если три вектора ,илинейно зависимы, например,. Это означает, что в определителе

строки линейно зависимы, значит, определитель ;

если , то векторы,илинейно независимы и образуют базис в трехмерном пространстве. В этом случае любой четвертый вектор трехмерного пространства является линейной комбинацией базисных векторов: , гдекоординаты векторав базисе;