4. Векторное произведение двух векторов

1. Определение. Векторным произведением двух векторов называется вектор, удовлетворяющий трём условиям:

1) ; 2); 3) векторы ,,образуют правую тройку векторов (из конца векторакратчайший поворот отквиден против часовой стрелки). Записываетсяили.

2. Свойства векторного произведения

1⁰. антикоммутативность.

2⁰. дистрибутивность относительно числового

множителя.

3⁰. дистрибутивность относительно сложения.

4⁰. тогда и только тогда, когда, или, или.

В частности, .

5⁰ Теорема 4. Если векторы ивДСК заданы своими координатами и, то.

Доказательство. Разложим векторыипо базису. Заполним таблицу.

	0
		0
			0

,

, и т.д.

, ч.т.д.

3. Геометрический смысл векторного произведения.

; .

Замечание: Векторное произведение может быть выражено формулой: , гдеорт направления вектора.

4. Физический смысл векторного произведения.

Если сила приложена к точке, то момент силы относительно точкиравен векторному произведению векторови, т.е..
	Вектор линейной скорости точкиM колеса равен векторному произведению вектора угловой скорости и радиус-вектора точки колеса, т.е..

5. Смешанное (векторно-скалярное) произведение трёх векторов

1. Определение. Смешанным произведением трёх векторов, взятых вуказанном поряд,

называется число .

Записывается: =.

2. Свойства смешанного произведения.

1⁰. , т.е. смешанное произведение не меняется при циклической перестановке векторов.

2⁰. , т.е. смешанное произведение не меняется при перестановке знаков векторного и скалярного произведения.

3⁰. , т.е. смешанное произведение меняет знак при перестановке любых двух векторных сомножителей.

4⁰. Теорема 5. Если в ДСК заданы векторы ,,то.

Дано: ,,

Доказать: .

Доказательство. По определению . Найдем.

. Тогда теореме 2.

.

Замечание. Если образуют правую тройку векторов, то,

если левую тройку, то.

5⁰. Теорема 6. Для того, чтобы векторы были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение было равно нулю, т.е.. Докажем эту теорему.

1. Необходимое условие.

Дано: компланарны,,,

Доказать: .

Доказательство. Из определения компланарности следует, что векторы лежат в одной плоскости, тогда один из векторов, например,линейно выражается через векорыи, т.е.. Тогда в определителе из координат векторов строки линейно зависимы. Следовательно, определитель равен нулю. Это означает, что, ч.т.д.

2. Достаточное условие.

Дано: .

Доказать: копланарны.

Доказательство. Если , то определитель из координат векторов равен нулю. Из этого следует, что строки определителя линейно зависимы. Тогда векторы так же линейно зависимы, например,. Это возможно, лишь в случае, когда векторылежат в одной плоскости, т.е. компланарны, ч.т.д.

4. Геометрический смысл смешанного произведения.

1. Теорема 7. Объём параллелепипеда, построенного на векторах и,

равен модулю смешанного произведения векторов .

Доказательство. .

площадь параллелограмма,

, где H высота параллелепипеда, следовательно, ч.т.д.

2) Тетраэдром называется треугольная пирамида (четырёхгранник).

• А

.