2.12. Координаты единичного вектора. Направляющие косинусы

Если задан вектор, то орт направления, т.е. вектор, определяется из формулы:. Длина вектора равна:,

тогда или

.

Поместим вектор в начало координат и обозначим черезуглы, которые векторобразует с положительным направлением осей
Рис.11	координат. Эти углы называются направляющими углами вектора. Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора. Пусть вектор образует, например, с осьюугол. Тогда из треугольника на рис.11 . Аналогично:,.
Тогда или. Отсюда ,,.

3. Скалярное произведение двух векторов

1. Определение. Скалярным произведением двух векторов называется

число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними .

Теорема 2. Если векторы ивДСК заданы координатами и, то скалярное произвеление равно сумме произведений одноименных координат, т.е.

. Докажем эту теорему.

Дано: ,.

Доказать: .

Доказательство. Разложим векторыипо базису. Заполним таблицу.

	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

,

, т.е., ч.т.д.

2. Свойства скалярного произведения.

1^0. коммутативность сложения (переместительный закон).
2^0. дистрибутивность (распределительный закон относительно сложения).
3^0. ассоциативность (сочетательный закон относительно умножения на число).
4^0. .
В векторной форме	В ДОСК
5^0. .	5^0. .
6^0. .	6^0. .
7^0. условие ортогональности.	7^0. , , .
8^0. .	8^0. , .
9^0.	9^0. .
Докажем сойство 7. Теорема 3. Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны т.е..
Необходимое условие. Дано: . Доказать: . Доказательство. Так как по условию , т.к. по условию, то, Следовательно, угол и.		Достаточное условие. Дано: . Доказать: Доказательство. Так как по условию , значит угол, тогда , ч.т.д.

2. Физический смысл скалярного произведения.

Пусть материальная точка движется прямолинейно от точки к точке
под действием постоянной силы , направленной под угломк направлению
	движения. Тогда работа, совершаемая при этом движении, равна: , т.е. .