матрицы А, равны 0. Отсюда следует, что dim Mmn = m n. Например, размерность множества матриц из 2 строк и 3 столбцов равна 6. Матрицы перехода к другому базису также имеют размер 6 × 6.

2. В пространстве полиномов степени не выше п можно взять в качестве базиса полиномы е0(х) = 1, е1(х) = х, е2(х) = х2,…, еп(х) = хп. То, что эти полиномы линейно независимы, было отмечено выше, а полнота этого на-

бора многочленов следует из того, что любой многочлен степени не выше п можно разложить по этой системе:

Р(х) = с0 + с1х + с2х2 +…+ спхп = с0е0 + с1 е1 + с2е2 +…+ спеп = = (с0, с1, с2,…, сп).

Таким образом, это пространство имеет размерность п + 1. В этом базисе координатами многочлена являются его коэффициенты. В качестве другого базиса можно взять любой набор из п + 1-го линейно независимых многочленов, например, любые ненулевые многочлены разных степеней – от нулевой до п-ой.

4.5. Подпространства и действия над ними

Определение. Подпространством линейного пространства Х называется любое такое его подмножество Х0, которое само является линейным пространством.

Замечание 1. Очевидно, что у каждого линейного пространства есть два так называемых несобственных подпространства: а) состоящее из одного нулевого элемента и б) состоящее из всех элементов данного пространства. Все остальные подпространства называются собственными. В дальнейшем, если не оговорено противное, мы все рассматриваемые подпространства будем считать собственными. Таким образом, у п-мерного линейного пространства собственные подпространства могут иметь любую размерность от 1 до п – 1. Например, в обычном трехмерном векторном пространстве подпространства могут иметь размерности лишь 1 и 2. Одномерные подпространства, очевидно, это всевозможные вектора, лежащие на какойнибудь прямой, проходящей через начало координат, а двумерные – всевозможные вектора, лежащие в какой-нибудь плоскости, проходящей через начало координат.

Замечание 2. Множество Z всех элементов линейного пространства, представимых в виде z x0 x , где x0 – фиксированный элемент про-

странства, а х принадлежит некоторому подпространству Х размерности k, называется линейным многообразием размерности k и обозначается Z x0 X . Например, в пространстве трехмерных векторов одномерные

линейные многообразия – это всевозможные прямые, а двумерные – это всевозможные плоскости. Поэтому в любом конечномерном (п-мерном)

54

линейном пространстве одномерные линейные многообразия обычно называют прямыми, а (п – 1)-мерные линейные многообразия – гиперплоскостями. Прямая в линейном пространстве, проходящая через 2 элемента х1 и х2, задается уравнением х = х1 + t(x2 – x1), где t пробегает всю вещественную ось.

Замечание 3. Для того, чтобы выяснить, является ли подмножество М линейного пространства подпространством, достаточно проверить, чтоx, y M и любых чисел , выполнено x y M . Проверять выпол-

нение аксиом Вейля не нужно, так как если они выполняются во всем пространстве, то автоматически выполняются и на его подмножествах. Например, вещественная ось является подпространством в множестве комплексных чисел, а первый квадрант (т. е. множество чисел x + yi, у которых x > 0 и y > 0) – не является, так как при умножении этих комплексных чисел на (–1) произведение не входит в 1-й квадрант.

Определение. Суммой подпространств K1 и K2 называется множество

K x y | x K1, y K2 .

Теорема. Сумма подпространств также является подпространством. Доказательство. Как упоминалось в замечании 3, для доказательства

достаточно показать, что u v K чисел , и u, v K .

Действительно, так	как	u, v K ,	то u x1 y1 ,	v x2 y2 , где
x1, x2 K1 и y1, y2 K2 .	Но	тогда для	любых чисел	, выполнено

x x1 x2 K1 и y y1 y2 K 2 . С учетом этого получаем

u v x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 x y K ,

что и требовалось доказать.

Определение. Система векторов e1,e2 , ,ek евклидова пространства называется ортонормированной, если ei , e j 0 i j , ei 0 i .

Теорема. Любая ортонормированная система векторов линейно независима.

Доказательство. C учетом ортонормированности системы векторов e1,e2 , ,ek вычислим определитель Грама

				e1, e1	e1, e2		e1, ek				0	0
										1
				e2 , e1	e2 , e2		e2 , ek			0	1	0		1 0 .
				ek , e1	ek , e2		ek , ek			0	0	1

По теореме Грама полученный результат означает линейную независимость векторов e1,e2 , ,ek .

55

Теорема [5]. а) в евклидовом пространстве, размерность которого не равна нулю, существует ортонормированный базис; б) в евклидовом пространстве любая ортонормированная система векторов может быть дополнена до ортонормированного базиса.

Определение. Ортогональным дополнением K подпространства K евклидова пространства называется множество всех векторов данного пространства, ортогональных всем векторам из K.

Теорема. Пусть K – подпространство конечномерного евклидова пространства E , а K – его ортогональное дополнение. Тогда

1.K – подпространство пространства E ;

2.dim K dim K dim E ;

3.K K E .

Доказательство.

1. Пусть x, y K , тогда по определению ортогонального дополненияx,u 0, y,u 0 u K. С учетом этого и свойств скалярного произведения , имеем x y,u 0, т. е. x y K для любых , . Но

всилу замечания 3 это как раз и означает, что K является подпространством.

2.По только что доказанному пункту 1 данной теоремы K – подпространство E . Так как по условию E – конечномерно, то его подпространст-

ва K и K также конечномерны. Обозначим dim K m и dimK s . По
теореме 2 настоящего пункта в каждом из подпространств K и K сущест-
вует ортонормированный базис. Обозначим через e1,			,em базис К, а че-
рез g1,	, g s базис K . Очевидно, что система векторов
	e1, ,em , g1,	, g s	(4.14)

ортонормированна.

Предположим, что система (4.14) не является базисом всего простран-

ства E . Тогда по теореме 2 найдется хотя бы один новый вектор u E та-
кой,	что система	e1, ,em , g1,	, g s ,u		ортонормированна.	Так как
ei u	i и любой вектор из K может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов базиса e1,			,em , то u K . Отсюда следует, что u
можно разложить по базису K ,			т. е. записать в виде u u g1 u				s	g s .
					1
Скалярно умножив данное равенство на u , получим
		u,u u u, g1 u		s	u, g s .	(4.15)
		1

56

По предположению система e1, , em , g1, , g s ,u ортонормированна, следовательно, u,u 1, u, g1 u, g s 0 , но тогда (4.15) принимает вид:

1 u1 0 us 0 ,

что невозможно. Получено противоречие, доказывающее неверность предположения, следовательно, e1, , em , g1, , g s – базис E . Поскольку размерность пространства совпадает с числом векторов в его базисе, то

dim K dim K dim E .

3. Любой вектор v E можно разложить по базису (4.14), т. е. записать в виде v v1e1 vses vm 1g1 vm s g s , при этом

x v1e1 vses K и y vm 1g1 vm s g s K .

Значит, любой вектор v E можно представить в виде v x y , где x K , а y K , но это эквивалентно K K E . Что и требовалось доказать.

Определение. Базисом системы векторов x1, , xm называется

максимальный набор линейно независимых векторов из системы (максимальный в том смысле, что если добавить к этому набору хотя бы один вектор из , то набор перестанет быть линейно независимым).

Нетрудно показать, что система векторов может иметь различные ба-

зисы, но число векторов в этих базисах всегда будет одним и тем же.
Определение. Рангом системы векторов x1,	, xm называется

число векторов его базиса.

Линейные подпространства чаще всего задаются как линейные оболочки некоторых элементов пространства.

Определение. Линейной оболочкой набора элементов x1, , xm называ-

ется множество всевозможных линейных комбинаций этих элементов. Стандартное обозначение линейной оболочки элементов x1, , xm –

L x1, , xm .

Замечания.

1. То, что линейная оболочка является подпространством, – очевидно,

так как сумма двух линейных комбинаций также есть линейная комбинация тех же элементов и умножение линейной комбинации на число есть также линейная комбинация.

2. Размерность линейной оболочки L x1,	, xm равна рангу системы
векторов x1, , xm . Действительно, пусть ранг системы x1,		, xm

57

равен r, и пусть для определенности

x1,

, xr –

базис

. Тогда во-

первых: векторы x1, , xr

линейно независимы, а во-вторых: любой вектор

линейной оболочки L x1,

, xm выражается через векторы x1, , xm ,

при

этом векторы xr 1, , xm

выражаются через векторы базиса

x1, , xr ,

сле-

довательно, любой вектор из L x1,

, xm выражается через

x1, , xr . От-

сюда получаем, что размерность L x1,

, xm

равна r .

3. Из пункта 2 следует, что базис системы векторов

x1,

, xm

одновременно является базисом линейной оболочки L x1,

, xm .

4. Очевидно,

что если

y перпендикулярен всем векторам x1, , xm и

K L x1,

, xm ,

то y K . Действительно, пусть z – любой вектор из K ,

тогда z 1x1

m xm ,

значит,

y, z 1 y, x1

m y, xm 0 ,

что

иозначает перпендикулярность векторов y и z. Следовательно, y K .

5.Очевидно, что линейная оболочка одного элемента а есть множество элементов вида λа (в пространстве векторов это прямая, проходящая через начало координат и содержащая данный элемент, т. е. данный вектор). Ясно также, что все пространство является линейной оболочкой любого своего базиса.

Теорема [5]. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк и равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов.

58