5. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

5.1. Основные определения. Теорема Кронекера – Капели

Определение. Системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

называется система равенств вида

a1,1x1 a1,2 x2 a1,n xn b1
		(5.1)
,
am,1x1 am,2 x2 am,n xn bm
где x1, x2 , , xn – неизвестные,	ai, j – числовые коэффициенты при неиз-
вестных, bi – свободные члены,	n – число неизвестных,	m – число урав-
нений.

Определение. Частным решением СЛАУ (5.1) называется любой на-

x1

бор X значений неизвестных, при подстановке которых, все урав-

xn

нения системы (5.1) обращаются в верные равенства.

Определение. СЛАУ (5.1) называется совместной, если она имеет хотя бы одно частное решение. Если система не имеет ни одного частного решения, она называется несовместной.

Определение. СЛАУ (5.1) называется определенной, если она имеет единственное частное решение. Если система имеет более одного частного решения, она называется неопределенной.

Определение. Общим решением СЛАУ (5.1) называется множество всех ее частных решений или формула, задающая это множество.

Решить СЛАУ (5.1) означает либо найти ее общее решение, либо доказать, что она несовместна.

Определение. СЛАУ (5.1) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю bi 0, i 0,1. Если хотя бы один из свободных членов bi отличен от нуля, то система называется неоднородной.

Определение. Однородная СЛАУ, полученная из неоднородной системы (5.1) путем замены всех ее свободных членов нулями, называется со-

ответствующей однородной системой.

	a	a
	1,1		1,n
Определение. Матрица	A				, составленная из коэффи-
	am,1		am,n

циентов СЛАУ, называется матрицей системы.

Определение. Расширенной матрицей СЛАУ (5.1) называется матрица

59

a		a			|	b
	1,1			1,n		1
Aр					|			, полученная путем добавления к матрице A
a	m,1	a		m,n	|	b
						m

b1

столбца свободных членов b .

bm

Определение. Если в (5.1) число уравнений равно числу неизвестных, т. е. m n , то матрица системы A оказывается квадратной. В этом случае ее определитель det A A называется определителем СЛАУ.

Различные формы записи системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (5.1) может быть записана в следующих эквивалентных формах:

	Ax b ,				(5.2)
A1x A2 x		An x	n	b ,	(5.3)
1	2
	A1 X b1
		.			(5.4)
	A X b
	m	m
Здесь A – матрица СЛАУ,	X – столбец ее неизвестных, b – столбец
свободных членов (иначе называемый столбцом правых частей),					A1 ,…, An –

столбцы матрицы A, и наконец A1,…, Am – строки этой матрицы.

Теорема Кронекера – Капели. СЛАУ (5.1) совместна тогда и только тогда, когда r A r Ap , т. е, когда ранг ее матрицы равен рангу расши-

ренной матрицы.

Доказательство. Для доказательства воспользуемся представлением системы линейных уравнений в виде (5.3):

A1x1 A2 x2 An xn b .

1. Предположим, СЛАУ совместна, и докажем, что r A r Ap . Из совместности следует, что существуют значения x1, x2 , , xn неизвестных такие, что верно

A1x A2 x	2	An x	n	b .	(5.5)
1

Таким образом, столбец свободных членов b является линейной комбинацией столбцов матрицы A. Значит, максимальное число линейно независимых столбцов расширенной матрицы Ap равно максимальному чис-

60

лу линейно независимых столбцов матрицы A, так как матрицу Ap отли-

чает от матрицы A лишь наличие дополнительного столбца b . Но тогда ранги матриц A и Ap равны друг другу, т. е. r A r Ap , поскольку ранг

матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых столбцов. 2) Теперь предположим, что r A r Ap r , и докажем совместность

СЛАУ. Из предположения следует, что максимальное число линейно независимых столбцов матрицы A равно ее рангу r . Пусть для определенно-

сти линейно независимы столбцы A1, A2,

, Ar . Заметим,

что A1, A2,

, Ar

являются не только столбцами матрицы A ,

но и столбцами расширенной

матрицы

A

p

. Поскольку

r A

r

и A1, A2

,

, Ar линейно независимы, то

p

A1, A2,

, Ar

образуют базис столбцов Ap .

Отсюда следует, что всякий

столбец матрицы

Ap (значит,

и ее последний столбец b ) может быть раз-

ложен по базису

A1, A2,

, Ar , т. е, b может быть представлен в виде ли-

нейной

комбинации столбцов

базиса

b A1x

A2 x

Ar x ,

где

1

2

r

x1, x2 , , xn – коэффициенты линейной комбинации. Но тогда

b A1x A2 x Ar x Ar 1 0 An 0 .

1

2

r

Полученное равенство означает, что

набор

значений неизвестных

x1 x1, x2 x2 , , xr xr , xr 1

0, , xn 0

является частным решением

СЛАУ (5.3), т. е. СЛАУ (5.3) совместна. Что и требовалось доказать.

Вопросы для самопроверки

1.Дайте определение системы линейных уравнений.

2.Дайте определение частного и общего решения системы линейных уравнений.

3.Когда система линейных уравнений называется совместной и когда определенной?

4.Какая из двух заданных систем уравнений является линейной? Является ли эта система однородной или неоднородной?

а) x1 x2							2	2	5.
			3		,	б) x1		x2		(5.6)
	2x	x			0		x2 0
	1	2				2x1

Задания

1.Проверить, является ли заданный набор значений неизвестных x1 1, x2 2 решением систем уравнений (5.6).

2.Для первой СЛАУ (5.6) написать матрицу системы, столбец свободных членов, расширенную матрицу, столбец неизвестных.

61

Решения

1.Набор значений неизвестных x1 1, x2 2 является решением обеих

систем уравнений (5.6), так как при подстановке этих значений все уравнения каждой системы обращаются в верные равенства.

							1		1		, столбец свободных членов
2.Матрица системы а) равна A
							2
								1
равен		3		, расширенная матрица равна					A			1	1	|	3		, столбец не-
	b									p
		0										2	1	|	0
известных имеет вид					x
					X 1	.
					x2

5.2. Системы n линейных уравнений с n неизвестными

Теорема (матричный способ решения системы линейных уравне-

ний). Если число уравнений СЛАУ (5.1) равно числу неизвестных, т. е. m n , и определитель системы не равен нулю A 0 , то система имеет единственное решение, определяемое следующей формулой

					X A 1b ,	(5.7)
где A – матрица СЛАУ,					b – столбец свободных членов,	X – столбец не-
известных.
Доказательство. Для доказательства воспользуемся представлением
неоднородной СЛАУ в виде (5.2)
					AX b .	(5.2)
По условию		A		0 ,	следовательно, существует A 1 . Умножив (5.2)
на A 1 слева, получим					A 1AX A 1b , откуда следует	EX A 1b , т. е.

X A 1b . Что и требовалось доказать.

Замечание. Доказанную теорему иногда также называют теоремой Крамера в матричной форме.

Теорема (формулы Крамера). Если число уравнений СЛАУ (5.1) равно числу неизвестных, т. е. m n , и определитель системы не равен нулюA 0 , то система (5.1) имеет единственное решение, которое может

быть найдено по формулам
x	1	,………., x	n		n	,	(5.8)
1

называемым формулами Крамера, здесь – определитель системы, определитель i i 1, n получен из заменой столбца с номером i на столбец свободных членов b .

62

2, A 1, A

2,1 2,2

A 1, A

1,1 1,2

Доказательство. Напомним, что по теореме замещения

A b			A b
	1,1 1		n,1 n	1
					,
A b			A b		n
	1,n 1		n,n n

где определитель i

( i

) получен из заменой столбца с номером i

1, n

на столбец свободных членов b . С учетом этого подставим

A

A

T

A 1

1

1,1

1,n

,

A

A

n,1

n,n

в (5.7) и получим

x

A

A

T

b

A

A

b

1

1,1

1,n

1

1,1

n,1

1

1

1

A

A

x

n

A

b

A

b

n,1

n,n

n

1,n

n,n

n

A b

A b

1

1

1,1 1

n,1 n

.

n

A1,nb1

An,nbn

Но тогда

x

1

,………., x

n

n

, что и требовалось доказать.

1

Замечание. Подчеркнем ограниченность применения теорем данного

пункта к решению СЛАУ, связанную с требованием невырожденности матрицы системы, которая к тому же должна быть квадратной. Исследование СЛАУ в общем виде будет описано в последующих пунктах.

x x 3			матричным способом.
Пример. Найти решение СЛАУ 1	2
2x1 x2		0
Решение. Записываем матрицу СЛАУ		1	1	и убеждаемся в том,
	A
		2
			1
что она квадратная. Находим определитель этой матрицы						A			1	1	3	,
									2	1

и поскольку он не равен нулю, делаем вывод о возможности использования формулы (5.6). Теперь находим алгебраические дополнения всех элементов матрицы A : 1, , после чего записываем

63

																															1			1
												1					1		2						Т
обратную матрицу A 1																															3			3
																																					. Теперь запишем стол-
													3					1 1													2			1
																											3								3
бец свободных членов																	3																						A 1 и b	в (5.7),
											b							, и подставив найденные
																	0
найдем решение СЛАУ
									1		1										1			3		1		0
	x															3																			1
						1			3			3									3					3
		1																																					x1 1,	x2 2.
				A b							1
	x2								2							0					2			3		1		0									2
																					3
							3					3														3
	Подставляя найденные x1 1,																				x2			2 в СЛАУ,														убеждаемся в правиль-
ности решения.
																					x				2x				2			x 1
																								1										3
Пример. Найти решение СЛАУ																					x1 x2										x3 3							по формулам Крамера.
																									x1 x2									3
	Решение. Отмечаем, что число уравнений СЛАУ равно числу ее неиз-
вестных (равно трем). Значит, можно																										вычислить определитель														СЛАУ
		2		1
	1
	1	1		1		3 . Так как 3 0 , для решения СЛАУ можно использо-
	1	1		0

вать формулы Крамера. Вычисляем определители 1, 2 ,																				3 , каждый раз
заменяя в	соответствующий индексу столбец на столбец свободных
		1
членов b
		3	,
		3
			1 2 1								1 1 1								1 2 1
1			3	1	1		7,	2			1	3 1			2,			3	1	1 3	0 .
			3 1 0								1 3 0								1 1 3
Находим решение СЛАУ, подставляя найденные , 1, 2 , 3 в
формулы Крамера (5.8),
							x	7	, x			2	, x			0	.
										2				3
					1			3				3			3

64