4.3. Размерность пространства. Теорема о базисе
Определение. Размерностью линейного пространства называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.
Размерность пространства Х обозначается символом dim X (от английского слова dimension – размер). Если в линейном пространстве можно отыскать сколь угодно много линейно независимых элементов, то такое пространство называется бесконечномерным, и такой факт записывается символом dim X . Например, пространство всех многочленов бесконечномерно, так как многочлены 1, х, х2, …, хп линейно независимы при любом натуральном п. Действительно, равенство с0 + с1х + с2х2 +…+ спхп = 0 справедливо при всех х только тогда, когда все коэффициенты равны нулю (если какой-нибудь из коэффициентов ск ≠ 0, то написанное равенство означает, что многочлен в левой части имеет в качестве корня любое число, что невозможно, так как многочлен не может иметь больше корней, чем его степень). Это и означает, что элементы 1, х, х2, …, хп линейно независимы при любом п. В дальнейшем, если не оговорено противное, считаем все рассматриваемые пространства конечномерными.
Определение. Набор элементов е1, е2, …, еп линейного пространства называется полным, если любой элемент х линейного пространства линейно зависим с ними.
Определение. Базисом в линейном пространстве Х называется любой полный линейно независимый набор его элементов.
Теорема о базисе. Справедливы следующие четыре утверждения.
1.В любом (конечномерном) линейном пространстве существует хотя бы один базис.
2.Любая максимальная линейно независимая система элементов пространства является базисом (максимальная в том смысле, что если к ней присоединить еще какой-нибудь элемент, то она перестанет быть линейно независимой).
3.Любая минимальная полная система элементов пространства является базисом (минимальная в том смысле, что если из нее удалить какойнибудь элемент, то она перестанет быть полной).
4.Все базисы данного линейного пространства содержат одинаковое число элементов, равное размерности этого пространства.
Доказательство. Утверждение 1 является следствием утверждения 2, так как мы можем зафиксировать произвольный ненулевой элемент е1 и
присоединять к нему и уже выбранным другим элементам ек любые другие линейно независимые с выбранными элементы до тех пор, пока не получим максимальную линейно независимую систему элементов. Докажем утверждение 2. Пусть е1, е2,…, еп – максимальная линейно независимая система элементов. Чтобы установить, что она – базис, требуется доказать лишь, что она полна. Возьмем произвольный элемент х пространства. Так
49
как набор элементов х, е1, е2,…, еп линейно зависим (поскольку он шире максимального линейно независимого набора), то по определению найдутся такие коэффициенты λк, не все равные нулю, что выполняется равенство
λ0х + λ1е1 + λ2е2 +…+ λпеп = 0. |
(4.4) |
При этом λ0 ≠ 0, так как при λ0 = 0 последнее равенство означало бы линейную зависимость элементов е1, е2,…, еп, что противоречит предположению. Таким образом, любой элемент х пространства линейно зависим с е1, е2,…, еп, а это и значит, что рассматриваемая система полна, и, следовательно, является базисом.
Докажем утверждение 3. Пусть е1, е2, …, еп – минимальная полная система элементов пространства. Докажем, что она линейно независима и, следовательно, является базисом. Предположим противное, т. е. что эта система линейно зависима. Тогда один из ее элементов, для определенности еп, является линейной комбинацией остальных:
еп = λ1е1 + λ2е2 +…+ + λп–1еп–1.
Ввиду полноты рассматриваемой системы любой элемент х является линейной комбинацией элементов этой системы:
х= х1е1 + х2е2 +…+ хпеп =
=х1е1 + х2е2 +…+ хп–1еп-1 + хп(λ1е1 + λ2е2 +…++ λп–1еп–1) =
=(х1 + λ1хп)е1 + (х2 + λ2хп)е2 +…+ (хп–1 + λп–1хп)еп–1.
Последнее равенство означает, что любой элемент х пространства линейно зависим с набором элементов е1, е2,…, еп–1, т. е. что этот набор полон, что противоречит минимальности полного набора е1, е2,…, еп. Значит, набор е1, е2,…, еп линейно независим и, следовательно, является базисом.
Докажем утверждение 4. Пусть в линейном пространстве Х обнару-
жилось два базиса: е1, е2,…, еп и е1΄, е2΄,…, ет΄ с разным числом элементов. Пусть при этом m > n. В силу полноты базиса каждый из элементов е1΄,
е2΄,…, ет΄ является линейной комбинацией элементов базиса е1, е2,…, еп, а так как этих линейных комбинаций по предположению больше n, то по лемме из предыдущего раздела эти элементы базиса е1΄, е2΄,…, ет΄ линейно зависимы, что противоречит определению базиса. Аналогично отвергается и предположение, что m < n. Таким образом, остается единственная возможность, что m = n, и последнее утверждение теоремы доказано.
Определение. Разложением элемента х по базису е1, е2,…, еп называется представление его в виде линейной комбинации элементов базиса:
х = х1е1 + х2е2 +…+ хпеп. |
(4.5) |
Утверждение. Любой элемент х пространства может быть разложен по базису, и притом единственным способом.
50
Доказательство. То, что любой элемент пространства можно представить в виде (4.5), было уже доказано выше. Докажем единственность такого разложения. Пусть кроме разложения (4.5), имеется еще разложение
х = х1΄ е1 + х2΄ е2 +…+ хп΄ еп. |
(4.6) |
Вычтем из (4.5) равенство (4.6). Получим
(х1 – х1΄)е1 + (х2 – х2΄)е2 +…+ (хп – хп΄)еп = 0.
Так как по определению элементы базиса линейно независимы, то из полученного равенства следует, что коэффициенты при е1, е2,…, еп в этом равенстве все равны нулю, т. е. что выполняются равенства
х1 = х1΄, х2 = х2΄, …, хп = хп΄,
и единственность разложения по базису доказана.
Определение. Координатами элемента х в данном базисе называются коэффициенты в его разложении по базису, т. е. коэффициенты в равенстве (4.5). Тот факт, что координаты элемента х в данном базисе е1, е2, …, еп равны числам х1, х2, …, хп, записывается равенством
х = (х1, х2,…, хп) |
(4.7) |
Таким образом, равенства (4.5) и (4.7) равносильны.
Теорема о линейных операциях над элементами в данном базисе.
При сложении элементов их координаты в данном базисе складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на то же число. Иными словами, если в данном базисе е1, е2,…, еп
х = (х1, х2,…, хп), z = (z1, z2,…, zп),
то в этом базисе
х + z = (х1 + z1, х2 + z2,…, хп + zn), х – z = (х1 – z1, х2 – z2,…, хп – zn),
λx = (λх1, λх2,…, λхп).
Докажем, например, первое из этих равенств (остальные доказываются аналогично):
x+ z = (х1, х2,…, хп) + (z1, z2,…, zп) =
=(х1е1 + х2е2 +…+ хпеп) + (z1е1 + z2е2 +…+ zпеп) =
=(х1 + z1)e1 + (х2 + z2)e2 +…+ (хп + zn)en = (х1 + z1, х2 + z2,…, хп + zn),
что и требовалось доказать.
Замечание. Очевидно, что координаты базисных элементов в базисе
е1, е2,…, еп таковы:
е1 = (1, 0,…, 0), е2 = (0, 1, …, 0),…, еп = (0, 0, …, 1).
Действительно, е1 = 1·е1 + 0·е2 +…+ 0·еп = (1, 0, …, 0); аналогично доказываются и остальные равенства.
51
4.4. Преобразование координат при переходе к новому базису
Теорема о преобразовании координат при переходе к новому базису.
Пусть в линейном пространстве S выбраны два базиса: е1, е2,…, еп, который будем называть «старым», и е1΄, е2΄,…, еп΄, который будем называть «новым», и пусть известны координаты новых базисных элементов в старом базисе, т. е. известны все коэффициенты в равенствах
е1΄ с11е1 с21е2 сп1еп ,
е2΄ с12е1 с22е2 сп2еп ,
.
е1΄ с1пе1 с2пе2 сппеп.
Тогда координаты любого элемента х є S в старом базисе
x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X x2 |
|
и в новом |
X |
x2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
xn |
||||
связаны соотношениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X CX |
|
, |
X |
|
|
|
|||
|
|
|
C X , |
|
|
|
||||
(4.8)
(4.9)
где С – матрица, столбцами которой служат координаты новых базисных элементов в старом базисе, т. е.
c |
c ...c |
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
C c21 c22 |
...c2n |
, |
||
................... |
|
|||
|
|
|
|
|
cn1 cn2 |
...cnn |
|
||
при этом матрица С не вырождена, и, следовательно, имеет обратную, при этом C C 1 .
Замечание. Эта матрица С называется матрицей перехода от старого
базиса к новому, а матрица C C 1 называется матрицей перехода от нового базиса к старому.
Доказательство. По определению понятия «координаты» выполняется равенство
х = х1е1 + х2е2 +…+ хпеп.
С учетом (4.8) получаем
52
х х1΄е1΄ х2΄е2΄ хп΄еп΄ х1΄(с11е1 с21е2 сп1еп ) х2΄(с12е1 с22е2 |
|
сп2еп ) . . . хп΄(с1пе1 с2пе2 сппепп ) (с11х1΄ с12 х2΄ |
(4.10) |
с1п хп΄)е1 (с21х1΄ с22 х2΄ с2п хп΄)е2 (сп1х1΄ сп2 х2΄ спп хп΄)еп.
Всилу единственности разложения элемента по базису, из (4.5) и (4.10) следует, что выполняются п равенств
хk = сk1х1΄+ сk2х2΄+ …+ сkпхп΄ (k = 1, 2, …, п), |
(4.11) |
а эти равенства и означают, что справедливо первое из матричных равенств (4.9) (второе из этих равенств означает, что новый базис считается старым, а старый – новым). Осталось доказать, что матрица С – невырожденная.
Подставляя второе из равенств (4.8) в первое, получим, что для любого числового столбца Х справедливо равенство X CC X , т. е.
Х = ВХ, |
(4.12) |
где В = CC = (bij). Подставляя в (4.12) вместо Х базисный элемент е1, получим (по правилу перемножения матриц):
1 |
|
|
b11 b12 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
b21 b22 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
bn1 bn2 |
|
b1n |
1 |
|
b11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2n |
0 |
|
b21 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
bnn |
|
bn1 |
|
|
||
а это равенство означает, что у матрицы В первый столбец такой же, как и
уединичной матрицы. Аналогично, подставляя в (4.12) вместо Х базисные элементы е2,…, еп, убедимся, что и остальные столбцы В такие же, как
уединичной матрицы Е, т. е. что В = Е, или что CC E . Это значит, что С –
невырожденная матрица и что C C 1 . Теорема доказана полностью.
Примеры.
1. В пространстве матриц размером т × п в качестве базиса можно взять матрицы того же размера eij, у которых на пересечении строки с номером i и столбца с номером j стоит 1, а все остальные элементы равны 0. То, что эти матрицы образуют полную систему, очевидно, так как любая матрица А = (аij) разлагается по этой системе:
m |
n |
|
A aijeij , |
(4.13) |
|
i 1 |
j 1 |
|
а линейная независимость матриц eij следует из того, что по определению равенства матриц линейная комбинация (4.13) равна нулевой матрице тогда и только тогда, когда все коэффициенты аij в (4.13), т. е. все элементы
53