полученный определитель равен исходному, а если п – четное число, полученный определитель отличается от исходного лишь знаком.

4. Определитель с двумя равными строчками (или столбцами) равен нулю.

Доказательство. Переставим равные друг другу строчки местами между собой. Очевидно, что от этого величина определителя не изменится. С другой стороны, по предыдущему свойству эта величина изменит знак свой на противоположный. Таким образом, выполняется равенство: det A = –det A, откуда, перенося слагаемое справа налево, получим:

2det A = 0 и det A = 0.

3.3.Свойства линейности определителей

5.Если в определителе какая-нибудь строка представлена в виде суммы двух строк, то и весь исходный определитель можно представить в виде суммы 2-х определителей, у первого из которых на месте указанной строки стоят первые слагаемые, а у второго – вторые; все остальные строки у всех трех определителей одинаковы. Иными словами, справедливо равенство

	a11	a12	a1n		a11 a12	a1n		a11 a12	a1n
det A =	b1 c1	b2 c2	bn cn	=	b1 b2	bn	+ +	c1 c2	cn
	an1	an2	ann		an1 an2	ann		an1 an2	ann

= det B + det C.

Доказательство. По формуле (3.5), раскрывая скобки, получаем:

det A			( 1)J 1. 2 , , n a1 1a2 2			bi ci	an n
	1, 2 ,		, n
		( 1)J 1. 2 ,		, n a1 1a2 2	bi	an n
	1, 2 ,	, n
		( 1)J 1. 2 ,		, n a1 1a2 2	ci	an n det B det C,
	1, 2 ,	, n

что и требовалось доказать.

Замечание. Ясно, что аналогичное свойство есть и у столбцов матрицы. 6. Общий множитель всех элементов какой-нибудь строки или какогонибудь столбца определителя можно вынести за знак определителя, т. е.

справедливо равенство:

31

		a1,1	a1,2	a1,n
		a2,1	a2,2	a2,n
					det A
det A		ak ,1	ak ,2	ak ,n
		an,1	an,2	an,n

Доказательство. По формуле (3.5), вынося общий множитель, получаем:

1

J 1 ,

, n

a1,

a2,

ak ,

an,

det A

k

1 ,

, n

1

2

n

1 J 1 ,

, n a1,

a2,

ak ,

k

an,

det A,

1 ,

, n

1

2

n

что и требовалось доказать.

7.Определитель с двумя пропорциональными строчками или столбцами равен нулю. Действительно, коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя (по предыдущему свойству), после вынесения получится определитель с двумя равными строками или столбцами, а такой определитель по 4-му свойству равен 0, что и требовалось доказать.

8.Справедливо равенство

a11

a12

a1n

det A’

ai1 ak1

ai2

ak 2

ain akn

ak1

ak 2

arn

an1

an2

ann

a11 a12

a1n

a11

a12

a1n

ai1

ai2

ain

ak1

ak 2

akn

det A 0 det A,

ak1

ak 2

arn

ak1

ak 2

arn

an1

an2

ann

an1

an2

ann

смысл которого в том, что величина определителя не изменится, если к любой его строке прибавить любую другую строку, предварительно домноженную на любое число.

32

Замечание. Это свойство позволяет изменять элементы матрицы определителя, не меняя его величины, например, получать ноль в тех элементах матрицы, в которых мы захотим.

3.4. Теоремы о разложении, замещении и аннулировании

Определение. Минором элемента аij определителя называется величина Мij нового определителя, полученного из данного удалением из него i-й строки и j-го столбца, т. е. той строки и того столбца, в пересечении которых стоит данный элемент аij.

Определение. Алгебраическим дополнением Аij элемента аij определи-

теля называется его минор, которому приписан знак по формуле:

		A –1 i j M				ij	.					(3.8)
			ij
								1	4	2
Пример. Минор элемента а2,3			определителя					2	3 7			есть
								1 2		3
М 2,3		1	4		( 1)( 2) 4 1 2							,
		1	2

а алгебраическое дополнение соответственно равно

А2,3 ( 1)2 3 М2,3 ( 1)( 2) 2.

9. Если из всех слагаемых определителя (записанного по определению (3.5)), содержащих в качестве множителя элемент aij, вынести этот элемент за скобки, то в скобках останется величина, равная Аij, т. е. число, равное алгебраическому дополнению этого элемента.

Доказательство. Для элемента апп утверждение очевидно. Действительно, по формуле (3.5) все слагаемые, содержащие апп в качестве сомножителя, имеют вид

	1	J 1 , 2 ,	, n 1	,n	a1,	a2,		an 1,	an,n ,
1 , 2 ,	, n				1		2		n 1

где сумма находится по всем подстановкам первых (п – 1) натуральных чисел. Так как наибольшее число п в подстановке записано последним, в подстановке нет инверсий с этим числом. Поэтому если из всех записанных в сумме чисел вынести общий множитель аij, то в скобках останется сумма

	( 1)J 1. 2 ,	, n 1 a1 1a2 2	a n 1 n 1 ,
1, 2 ,	, n 1

33

а по определению определителя она равна исходному определителю без последней строки и без последнего столбца, т. е. минору Мпп. Так как п + п = 2п – четное число, то Апп = Мпп, и для апп свойство доказано. Для любого другого элемента aij мы может строку, в которой он находится, менять последовательно с последующими строками до тех пор, пока она не станет последней, и менять столбец, в котором он находится, менять с последующими до тех пор, пока этот столбец не станет последним. В процессе перестановок величина минора данного элемента не меняется (так как для его вычисления мы удаляем одни и те же строки и столбцы), а знак каждого слагаемого при каждой перестановке по свойству 3 меняется на противоположный. Всего знак меняется (n – i) + (n – j) = 2n – (i + j) = = 2(n – i – j) + (i + j) раз. Итак, получившийся определитель, а значит, и

любое алгебраическое дополнение, отличается от исходного на множитель (–1)2(n – i – j) + (i + j) = (–1)i + j. Свойство доказано.

10. Теорема о разложении. Величина определителя равна сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения, т. е. справедливы равенства:

n
det A = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + … + ain Ain = aij Aij ,	(3.9)
j 1
n
det A = a1j A1j+ a2j A2j + … + anj Anj = aij Aij ,	(3.10)

i 1

(равенство (3.9) называется «разложением определителя по i-й строке», равенство 3.10) называется «разложением определителя по j-му столбцу»).

Доказательство. В сумме (3.5), дающей определение определителя, разобьем все слагаемые на п групп: в 1-ю отнесем слагаемые, содержащие множитель аi1, во 2-ю – содержащие множитель ai2,…, в n-ю – содержащую множитель ain. Так как по определению в каждом слагаемом определителя обязательно есть множитель из i-й строки, причем только один, то каждое слагаемое окажется в какой-нибудь группе, причем только в одной. В каждой группе вынесем множитель из i-й строки за скобки. По свойству 9 в скобках останется алгебраическое дополнение вынесенного за скобки множителя, т. е. получится равенство (3.9), что и требовалось доказать.

11. Теорема о замещении. Сумма произведений любых п чисел b1, b2, …, bn на алгебраические дополнения соответствующих элементов какойнибудь строки (или столбца) данного определителя п-го порядка равна новому определителю, полученному из данного замещением указанной строки (или столбца) на эти числа b1, b2, …, bn, т. е. справедливо равенство:

34

				a11	a12	b1	a1n
b A	b A	b A		a21	a22	b2	a2n	(3.11)
1 1j	2 2j	n nj
				an1	an2	bn	a nn

(числа b1, b2, …, bn поставлены в j-й столбец).

Доказательство. Очевидно из разложения определителя (3.11) по j-му столбцу.

12. Теорема об аннулировании. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на алгебраические произведения соответствующих элементов другой строки (или столбца) этого определителя равна нулю, т. е. справедливы равенства

	n
ai1Ak1 ai2 Ak 2	ain Akn ai j Ak j 0	k	i ,	(3.12)
	j 1
	n
a1j A1k a2j A2k	anj Ank ai j Ai k 0	k	j .	(3.13)

i 1

Доказательство. По теореме о замещении сумма (3.12) равна величине нового определителя, полученного из данного замещением k-й строки на i-ю.

Но у такого определителя две одинаковых строки: k-я и i-я, а такой определитель по свойству 4 равен 0, что и требовалось доказать.

Следствия.

13.Определитель, у которого все элементы какой-нибудь строки (или столбца) равны 0, сам равен 0 (следует из разложения такого определителя по нулевой строке).

14.Определитель, у которого все элементы, кроме одного, какой-ни- будь строки (или столбца) равны 0, равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение (следует из разложения такого определителя по указанной строке).

15.Определитель, у которого все элементы под (или над) главной диагональю равны 0, равен произведению элементов главной диагонали (следует из п-кратного применения предыдущего свойства, где п – порядок определителя).

Замечание. Из приведенных выше свойств определителей следует, что

вобщем случае det (A + B) ≠ det A + det B; det (λA) = λnA, где п – порядок матрицы А (при умножении матрицы на число все ее элементы умножаются на это число, а в определителе оно выносится из каждой строки); тем удивительнее, что если матрицы А и В имеют одинаковый порядок, то

det (AB) = det A·det B

(3.14)

(примем без доказательства).

35

16. Определитель единичной матрицы равен единице: det E = 1. Очевидно из предыдущего свойства и из определения единичной матрицы.

Пример. Если А – матрица 3-го порядка и det A = 2, то det(3A) = 33· 2 = 54.

Алгоритм приведения вычисления определителя любого порядка

квычислению определителя 2-го порядка.

1.Выбираем строку (или столбец), в которой мы хотим получить нули во всех элементах, кроме одного, и выбираем этот ненулевой элемент (если данная матрица целочисленна, то желательно, чтобы этот ненулевой элемент оказался равным ±1, чтобы избежать действий с дробями).

2.Столбец (или строку) с этим ненулевым элементом прибавляем к остальным столбцам с такими коэффициентами, чтобы в выбранной строке (или столбце) все остальные элементы стали равными нулю (по свойству 8 величина определителя при этом не изменится); надо помнить, что для получения нулей в строке надо прибавлять (с соответствующими коэффициентами) столбцы, а для получения нулей в столбце оперировать со строками.

3.Разложить получившийся определитель по выбранной строке (или столбцу) и свести, таким образом, исходный определитель к определителю меньшего порядка.

4.Получившийся определитель подвергнуть той же процедуре и понижать порядок определителя до тех пор, пока он не станет равным 2.

		1 4	2
	2
Пример. Вычислить det A	1	3 0 3		. Видим, что во 2-й строке и
	2	3 4	2
	3	2 1	0

в 3-м столбце присутствуют не только единицы, но и нули. Для определенности выберем (или, как говорят, зафиксируем) 2-ю строку и в ней – первый элемент. Будем получать нули во второй строке, т. е. будем оперировать со столбцами, а именно, первый столбец зафиксируем и прибавим его ко 2-му и 4-му столбцам с коэффициентами (–3) и 3 соответственно. Получим

	2 1 2( 3) 4	2 2 3		2 7 4 8
det A	1 3 1( 3) 0	3 1 3		1 0 0 0		.
	2 3 2( 3) 4 2 2 3			2 3 4 4
	3 2 3( 3) 1	0 3 3		3 7 1 9

Разложим получившийся определитель по 2-й строке:

							7	4	8
det A 1 A	0 A	0 A	0 A	1 2 1 M	2,1		3	4	4	.
2,1	2,2	2,3	2,4
							7	1	9

36