3.МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ

3.1.Матрицы. Сложение, вычитание, умножение матриц на число и умножение матриц между собой

Определение. Числовой матрицей А размером т × п называется пря-

моугольная таблица чисел, состоящая из т строк и п столбцов. Числа, заполняющие матрицу, называются ее элементами. Если элементы матрицы явно не указаны, то их можно рассматривать как т п независимых переменных. Эти переменные обычно обозначаются буквами с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой записан рассматриваемый элемент, а второй – номер столбца. Матрицу обычно заключают в круглые скобки, т. е. матрица имеет вид:

		a	a	a
		11	12	1n
m,n		a21 a22		a2n
A aij i, j 1				.	.	(3.1)
		am1 am2		amn

Матрица, у которой число строк и столбцов одинаково и равно числу п, называется квадратной матрицей порядка п. Матрица размером 1 × п называется строкой длины n, а матрица размером т × 1 называется столбцом высоты т. Совокупность элементов матрицы, у которых номера строк и столбцов одинаковы, называется ее главной диагональю и обозначается diagA a1,1, a2,2 , . У строки и у столбца главная диагональ состоит всего

из одного элемента a1,1. Матрица называется нулевой и обозначается 0 или 0m n , если все ее элементы равны нулю. Матрица называется единичной,

если она квадратная, все элементы ее главной диагонали равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Единичная матрица размера п × п имеет несколько общепринятых обозначений:

				1 0		0
					0 1	0
I E I	n	E	n				.	(3.2)
						.
					0 0	1

Замечание. Введение нулевой и единичной матрицы указанным способом оправдано тем, что в дальнейшем будет введено сложение и умножение матриц и выяснится, что только при указанных определениях эти матрицы обладают основными свойствами нуля и единицы:

А + 0 = 0 + А = А,

Е·А = А·Е =А.

23

Две матрицы А и В называются равными, А = В, если, во-первых, у них одинаковые размеры т × п, и, во-вторых, на одинаковых местах у них стоят одинаковые числа. Иными словами, равенство А = В означает справедливость т п равенств: аi,j=bi,j. Например, две нулевые матрицы равны между собой тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размеры.

Матрицей, транспонированной по отношению к матрице А, называется матрица АТ, полученная из матрицы А заменой ее строк на столбцы, а столбцов – на строки (или, что то же, симметричным отражением относительно главной диагонали). Для матрицы (3.1)

	a	a	a
	11	21	m1
AT a j i n,m	a12 a22		am2 .
j,i 1			.
	a1n	a2n	anm

Переход от данной матрицы к транспонированной называется транспонированием. Очевидно, что АТТ = А, что транспонированная строка – это столбец, а транспонированный столбец – это строка. Матрица, совпадающая со своей транспонированной, т. е. матрица, для которой АТ=А, называ-

ется симметричной.

Определения. Если матрицы А и В имеют одинаковые размеры т × п,

		c	c	c
		11	12	1n
m,n		c21 c22		c2n
то их суммой называется новая матрица C cij i, j 1				.		,
		cm1 cm2		cmn

полученная поэлементным сложением данных матриц, т. е. равенство С A B означает справедливость т п равенств сij = aij + bij.

Вычитание матриц определяется как действие, обратное сложению, т. е. равенство С = А – В по определению равносильно равенству А = В + С.

Это значит, что аij = bij + cij, т. е. что сij = aij – bij. Таким образом, вычитание тоже производится поэлементно. Следует помнить, что складывать и

вычитать можно только матрицы одинакового размера (две матрицы разного размера сложить или вычесть невозможно).

Произведением матрицы А на число λ называется новая матрица В = λА того же размера, что и А, полученная умножением каждого элемента матрицы А на число λ:

	a11 a12			a1n
m,n		a	a	a
B A aij i, j 1		21	22	2n
					.
		am1	am2
				amn

24

Разумеется, на число можно умножать любую матрицу.

Определение. Две матрицы А и В называются согласованными, если число столбцов первой равно числу строк второй. Если размер матрицы А равен т × п, то у согласованной с А матрицы В размер должен быть п × р, где р – некоторое натуральное число.

Определение. Пусть А и В – две согласованные матрицы размеров т × п и п × р соответственно. Тогда их произведением называется новая матрица С = АВ размера т × р, у которой каждый элемент вычисляется по формуле

n
cij ai1b1j ai2b2j ainbnj aikbkj .	(3.3)

k 1

Замечания.

1.Перемножать можно только согласованные матрицы.

2.При перемножении матриц у их произведения строк столько же, сколько у первого множителя, а столбцов – как у второго.

3.Правило перемножения матриц иногда называют «правилом перемножения строки на столбец», так как для вычисления элемента произведения, стоящего в пересечении i-й строки и j-го столбца, надо каждый элемент i-й строки первого множителя (начиная с левого конца) умножить на соответствующий элемент j-го столбца второго множителя (начиная сверху) и результаты сложить.

4.Такое правило перемножения матриц вызвано потребностями его приложений. При других способах перемножения матриц приложений значительно меньше.

5.Произведение матриц зависит от порядка сомножителей. Если матрица А имеет размер т × п, то для того, чтобы оба произведения АВ и ВА имели смысл, матрица В должна иметь размер п × т. Но при этом у матрицы АВ размер т × т, а у матрицы ВА – п × п, и говорить о равенстве этих произведений можно лишь в случае, когда т = п, т. е. когда обе перемножаемые матрицы – квадратные одинакового порядка п. Но и в этом случае чаще всего АВ ≠ ВА. Матрицы, для которых выполняется равенство

АВ = ВА, называются перестановочными (или коммутирующими).

6.Легко проверить, что введенные арифметические операции над матрицами обладают всеми привычными свойствами этих операций над числами (кроме перестановочности умножения), т. е. справедливы равен-

ства: А + В = В + А, А + (В + С) =(А + В) + С, ЕА = А, А + 0 = 0 + А = А, 0 · А = А · 0 = 0, 1·А = А·1 = А, α(А + В) = αА + αВ, (α + β)А = αА + βА, α(βА) = (αβ)А, (А + В)С = АС + ВС, А(В + С) = АВ + АС, А(ВС) = (АВ)С,

при этом если имеет смысл левая часть равенства, то имеет смысл и правая, и наоборот.

25

7. Говорить о делении матриц в обычном смысле, т. е. как о действии, обратном к умножению, не приходится, так как непонятно, о каком умножении идет речь: «левом» или «правом». Однако «суррогат» деления существует и называется «вычисление обратной матрицы». Для этого вычисления требуется овладеть элементами теории определителей.

3.2. Определение определителя и его простейшие свойства

Определение. Перестановкой объектов a1 , a2 , …, an называется их

расположение в каком-нибудь порядке. Из п объектов можно получить п! различных перестановок (на первое место можно поставить любой из данных п объектов, на второе – любой из оставшихся (п – 1)-го объектов, на третье – любой из оставшихся (п – 2)-х объектов и т. д.). Перестановка первых п натуральных чисел называется подстановкой. Ее можно трактовать как функцию, заданную в точках 1, 2, …, п и принимающую значения из этого же множества, причем каждое значение – ровно один раз:

1		2	n	. Так как значения аргументов в любой подстановке совпада-
	1	2	n

ют с номером столбца, который всегда можно подсчитать, то подстановку можно записывать лишь второй строкой: 1, 2 , , n . Инверсией в под-

становке называется пара чисел из этой подстановки, записанных в том же порядке, что и в этой подстановке, причем первое число пары больше второго. Подстановка называется четной, если в ней можно выделить четное число различных инверсий, и нечетной – в противном случае.

Пример. Инверсиями в подстановке (2, 5, 3, 6, 7, 1, 4) являются пары:

(2, 1), (5, 3), (5, 1), (5, 4), (3, 1), (6, 1), (6, 4), (7, 1), (7, 4). Этих инверсий – 9.

Значит, данная подстановка – нечетная.

Определение. Определителем квадратной матрицы А порядка п называется число det A, сопоставляемое данной матрице и равное сумме всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и из каждого столбца, причем каждому такому произведению приписывается знак «+» или «–» по специальному правилу знаков.

Правило знаков: расположим все множители рассматриваемого слагаемого в порядке следования строк и рассмотрим получившуюся подстановку из номеров столбцов. Если эта подстановка четная, то слагаемому приписывается знак «+», если нечетная – то «–».

Замечания.

1.Определители можно вычислять только у квадратных матриц.

2.Определитель матрицы обозначается так же, как и сама матрица, но вместо круглых скобок ставятся прямые. Например, определитель матрицы (3.1) при т = п обозначается так:

26

	a1,1 a1,n
det A				.	(3.4)
	an,1		an,n

3. Таким образом, запись определителя (3.4) по определению имеет вид:

det A		1 J 1. 2 ,	, n a1 1a2 2	an n ,	(3.5)
	1, 2 ,	, n

где сумма распространяется на всевозможные подстановки, а J(α1, α2, …, αn) – число инверсий в рассматриваемой подстановке.

4.В определителе, записанному по определению, т. е. по формуле (3.5), содержится п! слагаемых. Можно доказать, что среди них ровно половине приписан знак «+», а второй половине «–». Например, у определителя 2-го порядка – 2 слагаемых, у определителя 3-го порядка – 6, у определителя 4-го порядка – 24, …, 10-го порядка – 36288000, … . Поэтому по определению вычисляют только определители второго порядка (иногда

–третьего). Остальные вычисляют, используя свойства определителей, которые будут извлечены из определения ниже.

Примеры.

1.Определители 2-го порядка. У них из первой строки можно выбрать

только либо а11, либо а12. В первом случае второй множитель определяется однозначно, так как он должен быть из другой строки и из другого столб-

ца, т. е. это а22, и первое слагаемое равно а11а22, Так как в подстановке из номеров столбцов (1, 2) инверсий нет (0 инверсий, а 0 – число четное), то это слагаемое входит в сумму со знаком «+». Для второго элемента пер-

вой строки второй множитель тоже определяется однозначно: а12а21. Подстановка из номеров и столбцов (2, 1) – нечетная (в ней одна инверсия). Поэтому определители второго порядка вычисляются по формуле:

			a11	a22			a a		22	a					a .	(3.6)
			a21	a22			11					12			21
Например,		1 4 2 3 4 6 2 ;								0		3		0 ( 9) 9 .
	1 2
	3 4								3			5
2. Определители 3-го порядка. По формуле (3.5) получаем:
					a11 a12 a13
					a21		a22	a23								(3.7)
					a31		a32	a33

а11а22а33 – а11а23а32 – а12а21а33 а12а23а31 а13а21а32 – а13а22а31

27

(множители в каждом слагаемом специально расположены в порядке следования строк для того, чтобы было легче сосчитать число инверсий в подстановках из номеров столбцов). Конечно, формулой (3.7) пользоваться неудобно, и вычисление определителей третьего и высших порядков сводят к вычислению определителей второго порядка по правилам, которые будут приведены ниже. Но для желающих воспользоваться формулой (3.7) разработаны специальные правила, позволяющие запомнить правило знаков для определителей 3-го порядка (и только для определителей 3-го порядка).

а) Правило треугольников.

Множители каждого слагаемого соединяют отрезками. Если получилась главная диагональ или треугольник, одна из сторон которого параллельна главной диагонали, то этому слагаемому приписывается знак «+», остальным слагаемым – знак «–».

б) Правило Саруса (Sarus).

		Припишем к данному определителю 3-го
		порядка снизу его первые две строки. Через
		элементы первого столбца исходного опре-
		делителя проведем три отрезка: 1-й – соеди-
		няющий элементы главной диагонали, 2-й и

3-й отрезки проводим через 2-й и 3-й элементы 1-го столбца параллельно главной диагонали. Очевидно, что эти отрезки соединяют множители тех слагаемых определителя, которым приписывается знак «+». Аналогичные построения проведем со второй диагональю и 2-м и 3-м элементами 3-го столбца. Новые отрезки соединяют множители тех слагаемых, которым приписывается знак «–». Например, по правилу треугольников

1	4 2
2	3 7 –1 ·3· –3 4· – 7 ·1 2·2· –2 – 2·3·1 – –1 · –7 · –2 – 4·2· –3

12 3

9 – 28 – 8 – 6 14 24 47 – 42 5.

3. Дан определитель 6-го порядка

1	2			0	1	4	2
1	1			1	2	3	7
						2	3
2	1			2	1			.
3	2			1	1	2	3
0	1			4	3	2	2
5	4			3	2	1	0

28

Чтобы вычислить этот определитель по определению, надо сложить 6! = 120 слагаемых, снабженных соответствующими знаками. Предлагается выяснить знак того слагаемого определителя, которое получится при перемножении подчеркнутых элементов (все они расположены в разных строчках и разных столбцах).

Решение. Запишем множители в порядке следования строк:

2·1· –2 ·3· –3 ·3 108 а16а22а35а41а54а63.

Выпишем подстановку из номеров столбцов: (6, 2, 5, 1, 4, 3). Найдем все инверсии в этой подстановке: (6, 2), (6, 5), (6, 1), (6, 4), (6, 3), (2, 1), (5, 1), (5, 4), (5, 3), (4, 3). Число инверсий в этой подстановке равно 10. Это число – четное. Значит это слагаемое, т. е. число 108, войдет в сумму для вычисления определителя со знаком «+».

Замечание. Ясно, что вычисление определителя на основании определения чрезвычайно трудоемко. Поэтому выясняются свойства определителей, и на основе этих свойств вырабатывается менее трудоемкий алгоритм вычисления определителей. Так как свойств много, то их разбивают на группы, каждая из которых имеет свое название.

Определение. Транспозицией в данной подстановке называется перестановка любых двух элементов этой подстановке между собой. Пример транспозиции: (2, 3, 6, 1, 5, 4)→(2, 3, 4, 1, 5, 6) (переставлены 3-й и 6-й элементы подстановки).

Лемма о транспозициях. При транспозиции четность подстановки меняется на противоположную.

Доказательство. Очевидно, что при транспозиции 2-х соседних элементов число инверсий в подстановке меняется на единицу, и значит, четность подстановки меняется. Если же переставляются не соседние элементы, например, аi и aj, то будем переставлять элемент ai с соседними до тех пор, пока он не встанет рядом с aj, затем переставим его с aj, а затем будем переставлять aj с соседними до тех пор, пока он не встанет на место ai. Всего мы совершим |i – j – 1| + 1 +|j – i – 1| = 2|i – j – 1| + 1, т. е. нечетное число, транспозиций соседних элементов. При каждой такой транспозиции четность подстановки меняется. Нечетное число смен четности приводит к противоположной четности, и лемма доказана.

Простейшие свойства определителей (их 4).

1. Если множители некоторого слагаемого определителя, записанного по определению, не расположены в порядке следования строк, то знак этого

слагаемого определяется числом ( 1)J1 J2 , где J1 – число инверсий в под-

становке из номеров строк, а J2 – число инверсий в подстановке из номеров столбцов.

29

Доказательство. Будем переставлять множители слагаемого определителя между собой до тех пор, пока они не расположатся в порядке следования строк. При каждой такой перестановке произойдет транспозиция и в подстановке из номеров строк, и в подстановке из номеров столбцов, так что по лемме четность суммы J1 + J2 не изменится. Но если множители записаны в порядке следования строк, то в подстановке из номеров строк нет инверсий, и четность суммы J1 + J2 окажется равной четности подстановки из номеров столбцов. Свойство доказано.

2. Величина определителя не меняется при транспонировании, т. е. det AT = det A.

Доказательство. По формуле (3.5) величина транспонированного определителя определяется равенством

Т			( 1)	J 1. 2 ,	, n	a 1a			a	n ,
det A							2	2
		1, 2 ,	, n			1			n

где по предыдущему свойству знак каждого слагаемого определяется четностью суммы числа инверсий в подстановках из номеров строк и номеров столбцов. Таким образом, det AT является суммой тех же слагаемых с теми же знаками, что и det A. Свойство доказано.

Следствие. Каждое свойство определителя, доказанное относительно его строк, справедливо и по отношению к его столбцам, и наоборот.

3. При перестановке между собой двух строк (или двух столбцов) определителя его абсолютная величина не меняется, а знак меняется на противоположный. Иными словами, если матрицу А с переставленными между собой i-й и j-й строками обозначить через А , то справедливо равенство det A = –det A.

Доказательство. По формуле (3.5)

			( 1)	J1	J2	a1 1a2 2	a j i	ai i	an n = –det A,
det A
		1, 2 ,	, n

так как det A и det A состоят из одинаковых слагаемых, но у каждого слагаемого сумма числа инверсий в подстановках из номеров строк и номеров столбцов отличается на единицу.

Пример. Как изменится величина определителя, если его первую строку переставить вниз и сделать последней? Если у определителя п строк, то указанную операцию можно осуществить, переставляя первую строку со 2-й, полученную вторую (т. е. первую в исходном определителе) с 3-й, 3-ю – с 4-й и т. д., пока после (п – 1)-й перестановки 1-я строка не займет место последней. Каждая перестановка строк меняет знак определителя. Поэтому, если порядок п исходного определителя – нечетный, то

30