существует минор второго порядка	1	1	2 0 , не равный нулю, а минор
	1	3

третьего порядка составить нельзя. По теореме Кронекера – Капели система несовместна, так как r A r Ap .

5.4. Метод Жордана – Гаусса решения СЛАУ

Формулы Крамера и матричный способ решения СЛАУ, разобранные

вп. 5.2, позволяют найти решение системы лишь в том случае, когда число уравнений равно числу неизвестных и определитель системы не равен нулю. В общем случае найти общее решение системы или доказать ее несовместность позволяет метод Жордана – Гаусса, излагаемый в настоящем пункте.

Определение. Две СЛАУ называются эквивалентными, если множества их решений совпадают или они обе несовместны.

Определение. Расширенная матрица СЛАУ называется стандартной, если максимальное число различных единичных столбцов в ее основной части равно числу строк матрицы (столбец свободных членов b не входит

восновную часть расширенной матрицы Ap ). Неизвестные, соответст-

вующие различным единичным1 столбцам расширенной матрицы стандартного вида, называются базисными, все остальные неизвестные называются свободными. Система линейных уравнений, расширенная матрица которой имеет стандартный вид, называется стандартной.

		1	0
Пример. Расширенная матрица	Ap
		0	1

5			1		|	7
3			3			3		является
3			3			| 3
2				2			2

стандартной, так как первый и второй столбцы единичные и разные, при этом число таких столбцов равно числу строк матрицы. Матрица

	1	1
Ap
	0	1

5			1		|		7
3			3				3		не является стандартной, так как в ней только
2				2		|	2
3			3				3

один единичный столбец, а должно быть два по числу строк матрицы.

		0	1	0	0	|	5
Матрица		1	1	1	0	|	3		также не является стандартной, не-
	Ap
		0	3	0	1	|	3

1 Столбец матрицы называется единичным, если какой – либо один его элемент равен единице, а все остальные элементы равны нулю. Единичные столбцы отличаются друг от друга лишь расположением того элемента, который равен единице.

70

смотря на то, что число ее единичных столбцов равно числу строк матрицы, поскольку только два из них различны.

Определение. Преобразования, не изменяющие множество решений СЛАУ, называются допустимыми. Так как каждая i-я – строка матрицы однозначно соответствует i-му уравнению системы, то аналогичные преобразования допустимы и над строками расширенной матрицы Ap .

Допустимые преобразования строк расширенной матрицы

а) перестановка строк (перестановка уравнений); б) умножение строки на число, не равное нулю (умножение уравнения

на число, не равное нулю); в) прибавление строки, умноженной на число к другой строке (при-

бавление одного уравнения к другому уравнению; г) удаление нулевой строки (удаление тривиального уравнения).

Признак несовместности системы линейных уравнений: если в ходе эквивалентных преобразований расширенной матрицы СЛАУ будет получена строка вида 0 0 0 | c и c 0 , то СЛАУ несовместна, так как

данной строке соответствует уравнение вида 0 x1 0 x2 0 xn c 0 ,

которое очевидно ни при каких значениях неизвестных не обратится в верное равенство.

Признак определенности системы линейных уравнений: если в стан-

дартной системе линейных уравнений все неизвестные являются базисными, т. е. все столбцы матрицы системы являются единичными и различными, то система имеет единственное решение (следует из формулы общего решения СЛАУ).

Алгоритм и основные правила решения системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

1.Записывается расширенная матрица СЛАУ и приводится к стандартному виду путем эквивалентных преобразований над ее строками. При получении строки вида 0 0 0 | c при c 0 решение прекращается и делается вывод о несовместности системы.

2.По полученной матрице стандартного вида записывается стандартная СЛАУ, в дальнейшем мы будем обозначать ее (*). Для (*) записывается соответствующая однородная СЛАУ, которую в дальнейшем будем обозначать (**); для этого достаточно правые части уравнений (*) заменить нулями. В (*) и (**) базисные неизвестные оставляем в левых частях, а свободные неизвестные переносим в правые части уравнений. Если все

71

неизвестные оказываются базисными, то СЛАУ имеет единственное решение, согласно признаку определенности.

3.Правило нахождения частного решения xчастн. : в (*) все свободные

неизвестные приравниваем к нулю и получаем значения базисных неизвестных.

4.Правило нахождения фундаментальной системы решений однород-

ной СЛАУ X 1 , X 2 , , X k : а) число k решений, образующих фундаментальную систему, равно числу свободных неизвестных, б) для получения i -го

решения X i фундаментальной системы приравниваем i -ю свободную неизвестную в (**) к единице, а все остальные свободные неизвестные приравниваем к нулю и получаем значения базисных неизвестных. Повторяя

эти действия k раз,			находим				все		решения		фундаментальной системы
X 1 , X 2 ,	, X k .
5.Подставляя x				и		X 1	, X 2 ,			, X k	в формулу общего решения
	частн.
СЛАУ (5.14)
	X	неодн.			x			С X 1			С X k ,
						частн.			1		k

находим общее решение СЛАУ.

6.Для получения частного решения СЛАУ достаточно присвоить произвольным постоянным С1, ,Ck в формуле общего решения конкретные

числовые значения.

7.Правило проверки общего решения: а) при подстановке xчастн. во все уравнения исходной системы должны получаться верные равенства; б) при подстановке любого решения фундаментальной системы X 1 , X 2 , , X k в левые части всех уравнений исходной СЛАУ эти левые части должны обращаться в нуль. При выполнении этих условий при любых значениях

С , ,C	k	формула X	неодн.	x	С X 1 ... С	k	X k	дает решение ис-
1				частн.	1

ходной СЛАУ.

Вопросы для самопроверки

1.Какая система линейных уравнений называется стандартной?

2.Какие преобразования допустимы при приведении расширенной матрицы к стандартному виду?

3.Какие неизвестные в стандартной системе называются базисными,

икакие свободными?

4.Строка какого вида в расширенной матрице говорит о несовместности системы?

5.Как строится приведенная система линейных уравнений?

6.Напишите формулу общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

72

7.Напишите формулу общего решения однородной системы линейных уравнений.

8.Как получить какое-либо частное решение из формулы общего решения?

9.Сформулируйте признак определенности системы линейных уравнений.

10. Сформулируйте правило проверки общего решения системы линейных уравнений.

Пример. Решить методом Гаусса СЛАУ вида x1 2x2 3x3 x4 1.

x1 x2 x3 x4 3

1. Запишем расширенную матрицу СЛАУ и приведем ее к стандартному виду

1	2 3	1 | 1			1		2 3 1 | 1
Aр	1 1	1 | 3		ΙΙ Ι	~	0	3	2 2 | 2		ΙΙ ( 3)	~
1

1		2	3	1 | 1	Ι ΙΙ 2	1		0	5 / 3 1/ 3 | 7 / 3
~	0	1	2 / 3 2 / 3 | 2 / 3			~	0	1	2 / 3 2 / 3 | 2 / 3	.

Полученная матрица является стандартной (число различных единичных столбцов равно числу строк), переменные x1, x2 – базисные неизвест-

ные (соответствующие им первый и второй столбцы расширенной матрицы единичные), x3, x4 – свободные неизвестные.

2. По полученной стандартной расширенной матрице записываем стандартную СЛАУ

1		0 5 / 3 1/ 3 | 7 / 3		x1 0x2 5 / 3x3 1/ 3x4 7 / 3
	0	1 2 / 3 2 / 3 | 2 / 3		0x x 2 / 3x 2 / 3x 2 / 3				,
					1 2	3	4

после чего переносим все свободные неизвестные в правые части уравнений

x 5 / 3x 1/ 3x 7 / 3
1	3	4	.	(*)
x2 2 / 3x3 2 / 3x4 2 / 3

Записываем однородную СЛАУ, соответствующую (*), для этого правые части (*) заменяем нулями

	x 0x 5 / 3x 1/ 3x 7 / 3				x 0x 5 / 3x 1/ 3x 0
	1	2	3	4	1	2	3	4	,
0x1 x2 2 / 3x3 2 / 3x4 2 / 3					0x1 x2 2 / 3x3 2 / 3x4 0

после чего снова переносим все свободные неизвестные в правые части уравнений

73

x 5 / 3x 1 / 3x
1	3	4 .	(**)
x2 2 / 3x3 2 / 3x4

3. Находим

xчастн. : в (*) свободные неизвестные х3, х4 приравниваем

к нулю и получаем значения базисных неизвестных

x

7 / 3

x 0, x 0 x 7 , x 2

x

1

x2 2 / 3

.

(*)

3

3

x

0

3

4

1

2

частн.

3

0

x4

4. Находим

фундаментальную

систему

решений

(в

данном случае

в ней два решения

по числу свободных неизвестных),

для этого

в (**) по очереди одну из свободных неизвестных приравниваем к едини-

це, а остальные свободные неизвестные приравниваем к нулю:

x

5 / 3

1

x 1, x 0 x 5 , x 2 / 3 X 1 x2 2 / 3

;

(**)

3

x

1

3

4

1

2

3

0

x4

x

1 / 3

1

x 0, x 1 x 1 / 3, x 2 / 3 X 2 x2 2 / 3 .

(**)

x

0

3

4

1

2

3

x4 1

5. Подставляя

и

в формулу (5.14),

находим общее

решение системы

x1 7 / 3

x1 5 / 3

x1 1 / 3

X

C X 1 C X 2

x 2 / 3

x 2 / 3

x 2 / 3

X

2

C

2

1

C

2

.

неодн.

частн.

1

2

x 0

1

x

2

x 0

3

3

3

x4 0

x4 0

x4 1

6. Найдем два частных решения системы:

а) пусть например С1 = С2 = 1, тогда

x1 7 / 3

x1 5 / 3

x1 1 / 3

x1 1

x 2 / 3

x 2 / 3

x 2 / 3

x 2

x

2

2

2

2

;

частн1

x 0

x 1

x 0

x 1

3

3

3

3

x4 0

x4 0

x4 1

x4 1

74

б) пусть теперь С1 = 0, С2 = 1, тогда

						x1 7 / 3							x1 1 / 3							x1 8 / 3
						x 2 / 3							x 2 / 3							x 4 / 3
				x			2							2							2		.
				частн2		x 0							x 0							x 0
							3							3							3
						x4 0							x4 1							x4 1
	Ответ.
											x1 7 / 3							x1 5 / 3						x1 1 / 3
											x 2 / 3							x 2 / 3						x 2 / 3
	Общее решение X									2		0			C				2	1		C			2		;
							неодн.				x						1 x						2 x 0
											3								3						3
											x4 0							x4 0						x4 1
													x1 1
													x		2
первое частное решение x														2	1		;
											частн1		x
														3	1
													x4
													x1		8 / 3
													x		4 / 3
второе частное решение x											частн2			2	0			.
													x
														3	1
													x4
				x1 2x2 x3 1
	Пример. x1					x2	x3 3 .
				x 3x					3
					1	2
	1. Расширенную матрицу												приводим к стандартному виду.
				1 2 1			| 1								1			2		1 | 1
		A		1	1 1		| 3			II I			~		0		3			0 | 2					~
		p
					3	0	| 3									0		5	1		| 2
				1					III I													III ( 1)
			1	2	1		|		1		I III					1		3			0 |	3		I II
			0	3	0		|		2				~			0		3			0 |	2			~
		~
			0	5		1	| 2									0			5		1 | 2
	1 0				0 |		1						1			0				0 | 1
~		0	3		0 |		2	II 3 ~						0		1				0 | 2 / 3					~
		0		5	1	| 2								0			5		1		| 2
																							III 5 II

75

	1	0	0	|	1
	0	1	0	| –2 / 3
~						.
	0	0	1	|4 / 3

Поскольку в полученной стандартной матрице всем неизвестным соответствуют различные единичные столбцы, то все эти неизвестные являются базисными, значит, данная система линейных уравнений имеет единственное решение.

2. Восстановив систему линейных уравнений по полученной расши-

x1 1

ренной стандартной матрице, находим это решение x2 2 / 3.

x3 4 / 3

Ответ: Система имеет единственное решение x1 1, x2 23 , x3 4 / 3.

Пример. x1 2x2 x3 x4 x5 1.

x1 x2 x3 x4 2x5 3

1. Расширенную матрицу приводим к стандартному виду
1	2 1	1 1		|	1	1		2 1	1 1 | 1 I II
Aр	1 1	1 2		|		~	3 0		2 1 |	2		~
1					3 II I	0
		~		1	5 1	3	0	| 1
				0	3 0	2	1	| 2	.

Неизвестные	и	являются базисными, неизвестные , ,	яв-
ляются свободными.
2. Восстановим СЛАУ

1		5 1	3 0	|	1		x 5x x 3x 0x 1
		3 0	2 1				1	2 3	4	5
	0			|	2		0x1 3x2 0x3 2x4 x5 2

x 1 5x x 3x
1	2 3	4	(*)
x5 2 3x2 2x4

изапишем соответствующую однородную СЛАУ

x1 5x2 x3 3x4 0x5 0

0x1 3x2 0x3 2x4 x5 0

x 5x x 3x
1	2 3	4 .	(**)
x5 3x2 2x4

3. Найдем частное решение неоднородной СЛАУ:

76

				x1 1
				x	0
	(*)			2
x x x 0 x		1, x	2 x	x 0		.
2 3 4	1	5	частн.	3	0
				x4
				x	2
				5

4. Найдем фундаментальную систему решений соответствующей однородной СЛАУ:

											x1 5
											x		1
				(**)								2
x 1, x 0, x 0 x						5, x 3 X					1 x 0			;
2		3	4		1	5						3	0
											x4
											x		3
												5
											x1 1
											x		0
				(**)								2
x 0, x 1, x 0 x						1, x 0 X					2 x 1			;
2		3	4		1	5						3	0
											x4
											x		0
												5
											x1 3
											x		0
				(**)								2
x 0, x 0, x 1 x						3, x 2 X					3 x 0			.
2		3	4		1	5						3
											x4 1
											x		2
												5
5. Запишем общее решение исходной неоднородной системы линей-
ных уравнений
			x1 1			x1 5			x1 1					x1 3
			x 0			x 1			x 0					x 0
			2			2				2					2
	X		x 0		C	x 0		C	x 1				C	x 0		.
		неодн.	3		1	3		2		3			3		3
			x4 0			x4 0			x4 0					x4 1
			x 2			x 3			x 0					x 2
			5			5				5					5
6. Найдем			еще два		частных решения					исходной				СЛАУ,		отличных
от хчаст.:
пусть C1 1, C2 1, C3						0

77

x1 1

x1 5

x1 1

x1 3

x1 5

x 0

x 1

x 0

x 0

x 1

2

2

2

2

2

X

x 0

1 x 0

1 x 1

0

x 0

x 1

;

частн1

3

3

3

3

3

x4 0

x4 0

x4 0

x4 1

x4 0

x 2

x 3

x 0

x 2

x 5

5

5

5

5

5

пусть C1 0, C2

0, C3 1

x1 1

x1 5

x1 1

x1 3

x1 4

x 0

x 1

x 0

x 0

x 0

2

2

2

2

2

X

x 0

0

x 0

0

x 1

1 x 0

x 0

.

частн1

3

3

3

3

3

x4 0

x4 0

x4 0

x4 1

x4 1

x 2

x 3

x 0

x 2

x 4

5

5

5

5

5

Ответ.

Общее решение

x1 1

x1 5

x1 1

x1 3

x 0

x 1

x 0

x 0

2

2

2

2

X

x 0

C

x 0

C

x 1

C

x 0

;

неодн.

3

1

3

2

3

3

3

x4 0

x4 0

x4

0

x4 1

x 2

x 3

x 0

x 2

5

5

5

5

				x1 5
				x	1
				2
первое частное решение Х				x	1		;
			частн1	3	0
				x4
				x	5
				5
				x1 4
				x	0
				2
второе частное решение Х				x	0	.
			частн2	3
				x4 1
				x	4
				5
2x1 2x2 x3 x4 1
Пример. x1 x2		x3 2x4		3 .
x	3x	3x	3
1	2	4

78

1. Расширенную матрицу и приводим ее к стандартному виду

		2	2	1	1	|	1	I II		1	3	0	3	|	2	I III
A		1	1 1		2 | 3				~	1	1 1		2 |		3		~
р
		1	3	0	3	|	3				3	0	3	|	3
										1

	0	0	0	0	|	5
	1	1 1		2	|	3
~							.
	1	3	0	3	|	3

Первая строка полученной матрицы имеет вид (0 0 0 0 | с) и с ≠ 0, следовательно, система несовместна по признаку несовместности системы.

Ответ. Решений нет, система несовместна.

79