2.АЛГЕБРА МНОГОЧЛЕНОВ

2.1.Деление с остатком многочленов. Теорема Безу. Основная теорема высшей алгебры.

Каноническое разложение многочлена на множители

Определение. Многочленом (или, что то же, полиномом) n -ой степени

( n -го порядка) называется функция, заданная на всей комплексной плос-

кости и имеющая вид
P	z с zn c zn 1		c	n 1	z c	n	,	(2.1)
n	0	1

где с0 ,c1, ,cn – заданные числа, называемые коэффициентами многочлена, причем с0 0 (равенство с0 0 означает, что данный многочлен имеет

степень не n , а меньшую). Если все коэффициенты являются вещественными числами, то многочлен называется многочленом с вещественными коэффициентами. Ненулевой многочлен нулевой степени, очевидно, является константой (т.е. постоянной): P0 с0 . При этом многочлен, у которого

все коэффициенты равны 0, т. е. тождественно равный 0, считается многочленом не степени ноль, а многочленом степени «– ∞». Заметим, что два многочлена тождественно равны между собой (как функции) тогда и только тогда, когда их коэффициенты при всех одинаковых степенях равны

n	n
между собой: ck zn k bk zm k		влечет n m и	ck bk ,	k 0,1, , n .
k 0	k 0

Действительно, подставляя в это равенство z 0 , получим cn bm . Вычи-

тая из обеих частей этого равенства одинаковые слагаемые bm и cn , а затем сокращая его на z и снова подставляя z 0 , получим cn 1 bm 1. Про-

должая этот процесс, убедимся, что все коэффициенты при одинаковых степенях равны между собой.

Замечание. Как и всякие функции, многочлены можно складывать, вычитать, умножать и делить. При сложении и вычитании многочленов результат тоже является многочленом (степень которого равна наибольшей из степеней слагаемых многочленов). Произведение многочленов тоже является многочленом (степень которого равна сумме степеней множителей). Однако частное от деления многочлена на многочлен в общем случае не является многочленом (оно называется рациональной функцией). Поэтому, чтобы при делении многочленов снова получались многочлены, для них вводится новый вид деления: деление с остатком.

Определение. Делением с остатком многочлена P z на ненулевой многочлен Q z называется процесс отыскания таких двух новых многочленов q z и r z называемых соответственно «неполным частным» и «остатком», что при всех z выполняется равенство

P z Q z q z r z ,

(2.2)

15

причем степень остатка r z обязательно должна быть строго меньше степени делителя Q z . (Легко доказать, что деление с остатком для любого делимого P z и любого ненулевого делителя Q z всегда осуществимо, причем неполное частное q z и остаток r z всегда определяются однозначно).

Замечание. Так как степень остатка должна быть обязательно меньше степени делителя, то при делении на многочлен 1-й степени, остаток обязательно имеет нулевую степень, т. е. обязательно является константой. Например, при делении на двучлен z a равенство (2.2) принимает вид

P z z a q z r ,

(2.3)

где r – некоторая константа.

Определение. Говорят, что многочлен P z делится на многочлен Q z

без остатка, если при делении (по формуле (2.2)) остаток тождественно равен нулю:

r z 0 .

Определение. Корнем многочлена P z называется любое такое число z0 , что P z0 0.

Теорема (называемая «основной теоремой высшей алгебры», ее назы-

вают также «теоремой Гаусса»). У любого многочлена ненулевой степени обязательно существует хотя бы один (вещественный или комплексный) корень.

Примем эту теорему без доказательства.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P z на двучлен z a

равен значению этого многочлена в точке a , т. е.
r P a .	(2.4)

Доказательство. В равенство (2.3) подставим z a . Получим равенство (2.4), что и требовалось доказать.

Следствие (которое также иногда называют теоремой Безу). Для того, чтобы многочлен P z делился на двучлен z a без остатка, необходимо и достаточно, чтобы число a являлось корнем этого многочлена.

Доказательство. Из равенства (2.4) следует, что равенство r 0 выполняется тогда и только тогда, когда P a 0 , что и требовалось доказать.

Следствие из основной теоремы высшей алгебры и теоремы Безу.

Любой многочлен п-й степени имеет ровно п корней, среди которых могут быть и равные.

Доказательство. Пусть нам дан некоторый многочлен P z степени n 0.

По теореме Гаусса он обязательно имеет некоторый корень z1 . По теореме Безу он обязательно делится на двучлен z z1 , т. е. справедливо равенство

16

P z z z P

z ,

1

1

где частное обозначено через

P

z . Аналогично P z имеет некоторый

1

1

корень z

2

и, значит, P z z z

2

P

z . Продолжая этот процесс, получаем

1

2

P z

z z

P z ,

1

1

P z

z z

2

P z ,

1

2

………………...,

Pn 2

z z zn 1 Pn 1 z ,

Pn 1 z z zn Pn z .

Отсюда следует

P z

z z1 z z2 z zn Pn z .

(2.5)

Заметим, что степень каждого из многочленов Pk z на 1 меньше, чем

у предыдущего, и, следовательно, степень многочлена Pn z

равна 0, т. е.

этот многочлен – константа. Раскрывая скобки в (2.5), убеждаемся, что Pn z c0 , т. е. что это – старший коэффициент данного многочлена. Таким

образом,
P z с0	z z1 z z2 z zn .		(2.6)
Итак, P z имеет n корней:		z1, z2 , , zn . Никаких других корней	P z

иметь не может, так как при подстановке в (2.6) любого числа z z0 ни

один из множителей не обратится в ноль. Следствие доказано.

Замечание. Среди множителей в правой части равенства (2.6) могут быть и равные между собой. Собирая равные множители в степени, перепишем (2.6) в виде

P z c

z z

m 1 z z

2

m 2

z z

n

m k ,

m

1

m

2

m

k

n , (2.7)

0

1

где k – число всех различных корней данного многочлена. Запись многочлена в виде (2.7) называется каноническим разложением многочлена на множители.

2.2. Кратные корни многочленов. Признаки кратности корня

Определение. Число z0 называется корнем кратности (или порядка) m многочлена P z , если этот многочлен делится без остатка на z z0 m ,

но не делится без остатка на z z0 m 1 . Корни первой кратности называются простыми корнями, а остальные – кратными.

Замечание 1. Таким образом, число z0 является корнем кратности m
многочлена P z , если
P z z z0 m Q z ,	(2.8)

17

P z P z

n n

где частное Q z не имеет корня z0 , т. е. по теореме Безу
Q z0 0.	(2.9)

Замечание 2. Очевидно, что в каноническом разложении (2.7) кратностями соответствующих корней являются показатели степеней m1,m2,.., mk .

Определение. Производной данного многочлена

Pn z с0 zn c1zn 1 cn 1z cn .

степени n называется многочлен n 1 -го порядка Pn z , задаваемый равенством

	z nс0 z	n 1	n 1 с1z	n 2	n 2 с2 z	n 3	2cn 2 z cn 1	. (2.10)
Pn

В частности, производная многочлена нулевого порядка, т. е. производная константы, равна нулю: C 0 . Второй производной называется производная от первой производной. Она обозначается символом Pn z . Третья производная – это производная от второй производной:

и т. д.

Производные выше третьего порядка обозначаются верхним индексом, но порядок производной записывается в скобках. Например, произ-

водная порядка k обозначается символом Pn k z .

Замечание. Понятие производной от многочлена, введенное формулой (2.10), является частным случаем общего понятия производной, которое вводится и изучается в курсе математического анализа, предусмотренного программой 2-го семестра. Там же будут выяснены свойства производных.

Здесь используются следующие «свойства из будущего»:

а) свойство линейности: для любых двух чисел c1 и c2 и любых двух многочленов P z и Q z справедливо равенство

c 1 P z c2 Q z c 1 P z c2 Q z ;

б) правило дифференцирования произведения (дифференцированием называется процесс отыскания производной):

P z Q z P z Q z P z Q z ;

в) в частности, z a m m z a m 1 .

Лемма (необходимый признак кратности корня). Кратный корень мно-

гочлена обязательно является корнем его производной на единицу меньшей кратности. Простой корень многочлена не является корнем его производной.

Доказательство. Пусть выполняется равенство (2.8) и неравенство (2.9). Дифференцируя (2.8), получим:

18

P 'n z z z0 m Q z ' m z z0 m 1 Q z z z0

m Q ' z

0

m 1 mQ

(2.11)

z z

z

z z

0

Q '

z

.

Подставляя в выражение в квадратных скобках z z0 , получим:

mQ z

0

z z

Q ' z

mQ z

0

0,

0

0

ввиду (2.9). Это и значит, что

m 1

, но не делится на

P z

делится на z z0

z z0 m , т. е. что z0 – корень производной данного многочлена кратности

m 1, что и требовалось доказать.

Теорема (необходимый и достаточный признак кратности корня).

Для того чтобы число z0 являлось корнем многочлена P z кратности m ,

необходимо и достаточно, чтобы оно являлось корнем самого этого многочлена и всех его производных до порядка m 1 включительно, но не было корнем его производной порядка m , т. е. чтобы выполнялись равенства

P z	0	P' z	0	P'' z		0	P m 1 z	0	0	(2.12)
и неравенство				P m z		0 .
					0					(2.13)

Доказательство. Необходимость. Пусть z0 – корень многочлена P z

кратности m . Тогда по предыдущей теореме он является корнем кратностиm 1 своей производной, а значит, корнем кратности m 2 второй производной, …, корнем кратности единица производной порядка m 1 , т. е. простым корнем, и следовательно, не является корнем m - ой производной,

что и требовалось доказать.

Достаточность. Пусть выполняются равенства (2.12) и неравенство

(2.13). Предположим, что кратность корня z0

равна какому-то числу q m.

Если q m ,

то по доказанной необходимости

P q z

0

0

, что противоре-

чит одному из равенств (2.12). Если q m , то по доказанной необходимо-

сти

P m z

0

0 , что противоречит неравенству (2.13). Значит,

q m , что и

требовалось доказать.

Пример. У многочлена P z z4 2z3 2z 1 очевиден корень z

1

1.

4

Выясним,

какова

его

кратность.

3

6z

2

2 ,

P4 z 4z

P4 1 0;

2

1 0 ;

12 ,

1 12 0 ; Значит, крат-

P4 z 12z

12z , P4

P4 z 24z

P4

ность корня z 1 1 равна 3. Отсюда следует, что у

P4 z имеется еще всего

лишь один другой корень z2 , причем простой: P z z 1 3 z z2 . Раскрывая скобки, видим, что свободный член равен z2 . С другой стороны,

19

свободный член данного полинома P4 z равен 1. Отсюда z2 1, и каноническое разложение многочлена P4 z на множители имеет вид:

P z z 1 3 z 1 .

2.3.Особенности комплексных корней многочленов

свещественными коэффициентами

Напоминание. Числом, сопряженным к комплексному числу z x iy , называется число z x iy . Вещественные числа (и только они) равны

своим сопряженным: x x 0i x 0i x .

Лемма. Число, сопряженное к результату выполнения алгебраических операций над комплексными числами, равно результату выполнения тех же операций над сопряженными числами. Точнее, справедливы равенства:

а) z1 z2 z1 z2 ;							б) z1 z2 z1 z2 ; в) z1 z2 z1 z2 ;
			z : z				д) zn z n ; е) n z n z ;
г) z : z		2			2	;
1			1

ж) ei e i , откуда ez e z .

Доказательство. Все эти равенства следуют из определений. Докажем, например, пункт ж)

ei cos i sin cos i sin cos( ) i sin( ) e i ,

откуда

ez er (cos i sin ) er cos ei sin er cos eir sin er cos e i r siner(cos i sin ) e z .

Теорема (о свойствах комплексных корней многочленов с веществен-

ными коэффициентами). Если многочлен с вещественными коэффициентами имеет комплексный корень z0 i , 0 , то он обязательно имеет и сопряженный комплексный корень z0 i , причем той же кратности, что и z0 . Иными словами, комплексные корни входят в число корней мно-

гочлена с вещественными коэффициентами обязательно сопряженными парами и с одинаковыми кратностями.

Доказательство. Пусть у многочлена (2.1) все коэффициенты вещественны, т. е. ck ck при всех k 0, 1, 2, , n и пусть для некоторого z выполняется равенство P4 z M Ni . Тогда по лемме

M– Ni Pn (z) c0 zn c1zn 1 ... cn 1z cn c0z n c1z n 1 ... cn 1 cn

c0 z n c1z n 1 ... cn 1z cn Pn (z ).

20

Поэтому, если z0 – корень данного многочлена: Pn z0 0 , то M = 0

и N = 0, а тогда Pn( z0 ) = M – Ni = 0, т. е. z0 – тоже корень этого многочлена. Осталось доказать, что кратности этих корней одинаковы. Пусть

кратность корня z0 равна т. Тогда по признаку кратности корня z0 является корнем самого многочлена и всех его производных до порядка m 1 , т. е. для него выполняются равенства (2.12) и неравенство (2.13). Но производные многочлена тоже являются многочленами. Поэтому по уже доказанной части теоремы для числа z0 тоже выполняются равенства (2.12)

и неравенство (2.13). Значит, корень z0

тоже имеет кратность т и

0

0

0

0

x z

m

m

x z

m

x i x i m

x z

x z

x 2 2

m

x2 2 x 2

2 m x2 px q m ,

где p 2 , q 2 2 .

Поэтому каноническое разложение многочлена степени n с вещественными коэффициентами можно записать в виде:

P	x c x x m 1 x x m k x2 p x q r1 x2 p x q r s , (2.14)
n	0	1	k	1	1	s	s
где x1 , x2 , …,		xk – все различные вещественные корни данного много-
члена, кратности которых m 1, m 2 ,				, m k ; s	– число различных пар ком-
плексных корней этого многочлена,				r1, r 2 , , r k – их кратности; при этом
		m 1 m 2	m k 2 r1 r2			rs n .
	Равенство	(2.14) является каноническим				разложением	многочлена

свещественными коэффициентами на множители не выше второй степени

свещественными же коэффициентами.

Пример. В п. 1.3, мы нашли все корни уравнения z4 4 0 . Зная эти корни, можно записать каноническое разложение многочлена на множители:

z4 4 z – 1 – i z 1 – i z 1 i z – 1 i .

Сопряженными корнями являются первый с четвертым и второй с третьим. Поэтому, перемножая первый множитель с четвертым, а второй с

третьим, получим:

z4 +4 z – 1 2 1 z 1 2 1 z2 – 2z 2 z2 2z 2 .

Это – каноническое разложение данного многочлена на вещественные множители.

21

Вопросы для самопроверки

1.Что такое корень многочлена?

2.Что значит поделить многочлен на многочлен с остатком? Что такое неполное частное и остаток?

3.Теорема Безу и следствие из нее.

4.Что такое каноническое разложение многочлена на множители?

5.Что такое кратность корня многочлена? Что значит, например, что число 2 – 3i является корнем кратности 3 данного многочлена P(z)?

6.Каков необходимый и достаточный признак кратности корня?

7.Каковы особенности комплексных корней многочлена с вещественными коэффициентами?

8.Какова каноническая форма разложения многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители с вещественными же коэффициентами?

22